數(shù)學歸納法證明的原理

數(shù)學歸納法證明的原理

　　數(shù)學歸納法證明的原理

　　數(shù)學歸納法證明的是與自然數(shù)有關的命題，它的依據(jù)是皮亞諾提出的自

　　然數(shù)的序數(shù)理論，就是通常所說的自然數(shù)的皮亞諾公理，內(nèi)容是：

　　（１）ｌ 是自然數(shù)。

　　（２）每個自然數(shù) ａ 有一個確定的“直接后繼”數(shù) ａ’，ａ 也是自然數(shù)。

　�。ǎ玻�ａ’≠１，即 １ 不是任何自然數(shù)的“直接后繼”數(shù)。

　�。ǎ矗┯� ａ’＝ｂ’，推得 ａ＝ｂ，即每個自然數(shù)只能是另外的唯一自然的“直

　　接后繼”數(shù)。

　�。ǎ担┤我蛔匀粩�(shù)的集合，如果包含 １，并且假設包含 ａ，也一定包含 ａ

　　的“直接后繼”數(shù) ａ’，則這個集合包含所有的自然數(shù)。

　　皮亞諾公理中的（５）是數(shù)學歸納法的依據(jù)，又叫歸納公理

　　數(shù)學歸納法的應用及舉例。

　　因為由假設知 ４２ｋ＋１＋３ｋ＋２ 能被 １３ 整除，１３４２ｋ＋１ 也能被 １３ 整除，這就

　　是說，當 ｎ＝ｋ＋１ 時，ｆ（ｋ＋ｌ）能被 １３ 整除。根據(jù)（１）、（２），可知命題

　　對任何 ｎ∈Ｎ 都成立。

　　下面按歸納步中歸納假設的形式向讀者介紹數(shù)學歸納法的幾種不同形式

　　以及它們的應用。

　�。ǎ欤┖唵螝w納法。即在歸納步中，歸納假設為“ｎ＝ｋ 時待證命題成立”。

　　這是最常用的一種歸納法，稱為簡單歸納法，大家都比較熟悉，這里不再贅

　　述。

　　（２）強歸納法。這種數(shù)學歸納法，在歸納步中，其歸納假設為“ｎ≥ｋ

　　時待證命題成立”。我們稱之為強歸納法，又叫串值歸納法。

　　通常，如果在證明 ｐ（ｎ＋ｌ）成立時，不僅依賴于 ｐ（ｎ）成立，而且還

　　可能依賴于以前各步時，一般應選用強歸納法，下面舉例說明其應用。

　　例 有數(shù)目相等的兩堆棋子，兩人輪流從任一堆里取幾項棋子，但不能

　　不取也不能同時從兩堆里取，規(guī)定凡取得最后一項者勝。求證后者必勝。

　　證：歸納元 ｎ 為每堆棋子的數(shù)目。設甲為先取者，乙為后取者。

　　奠基 ｎ＝ｌ，易證乙必勝。

　　歸納 設 Ｎ ｎ≤ｋ 時，乙必勝�，F(xiàn)證 ｎ＝ｋ＋ｌ 時也是乙必勝。

　　設甲在某堆中先取 ｒ 顆，Ｏ＜ｒ≤ｋ。乙的對策是在另一堆中也取 ｒ 顆。有

　　二種可能：

　�。ǎ保┤� ｒ＜ｋ，經(jīng)過兩人各取一次之后，兩堆都只有 ｋ－ｒ 顆，ｋ－ｒ＜ｋ，

　　現(xiàn)在又輪到甲先取，依歸納假設，乙必勝。

　�。ǎ玻┤� ｒ＝ｋ，顯然是乙勝，證畢。

　　上述形式的歸納法雖然比較簡單，但如使用不當，往往會發(fā)生錯誤，有

　　兩點應注意：第一，在使用歸納假設時防止無形中引入不相干的假設。第二，

　　在證明過程中應注意數(shù)學規(guī)律的正確性。下面我們引入一個反例，在這個反

　　例中，由于錯誤的證明導致證得了錯誤的待證命題。

　　反倒：證明任意 ｎ 條直線均能重合成一條直線。

　　下面給出錯誤的證明：

　　證：奠基 ｎ＝１ 時該命題成立。

　　歸納 利用強歸納法，可以有如下的歸納假設：任意 １ 條，２ 條，３ 條，…，

　�。� 條直線均重合成一條直線，要證 ｋ＋１ 條直線也重合成一條直線，設這 ｋ＋１

　　條直線為 ｌ１、ｌ２、…，ｌｋ，ｌｋ＋１ 由強歸納假設得 ｌ１，…，ｌｋ…重合為一條直線，

　　記為 ｌ。又由強歸納假設得 ｌ 和 ｌｋ＋１ 重合為一條直線，于是任意 ｎ 條直線便

　　重合一條直線了。

　　細心的讀者也許已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這里的錯誤了，這是由于錯誤地使用了強歸納

　　假設而造成的。具體地說，這是在“ｌ 和 ｌｋ＋１ 這兩條直線重合為一條直線”

　　這一點把強歸納假設使用錯了。強歸納假設中并沒有包含這一條件，因為我

　　們這里奠的基是 ｎ＝ｌ，因此待證命題“ｋ＋１ 條直線重合為一條直線”要求對于

　　一切大于等于 １ 的 ｋ 成立，而上面證明中所假設的 ｌ 和 ｌｋ＋１ 重合為一條直線

　　實際上是要求 ｋ≥２，這就是錯誤的所在。

　�。ǎ常﹨⒆儦w納法。在待證命題中含有參數(shù)的時候，例如 Ｐ（ｕ，ｎ），則

　　用數(shù)學歸納法證明 Ｐ（ｕ，ｎ）對一切 ｎ 成立時，在奠基步中，應證 Ｐ（ｕ，０）

　　對一切 ｕ 成立。在歸納步中，假設 Ｐ（ｕ，ｋ）對一切 ｕ 成立，證明 Ｐ（ｕ，ｋ＋１）

　　對一切 ｕ 成立。這里，“Ｐ（ｕ，ｋ）”對一切 ｕ 成立稱之為參變歸納假設，這

　　種證明方法叫做參變歸納法，Ｕ 起著參數(shù)的作用。

　　例 求證當 ｎ≥３ 時有 ｎ（ｎ＋１）≥（ｎ＋１）３。

　　本題證明的困難主要在于歸納步驟，無論采用哪種歸納假設，都難于證

　　明。如果我們對該待證命題施展一定的技巧，把該式中的部分 ｎ 寫成 ｕ（視

　　作參數(shù)），部分 ｎ 保持不變，即寫成

　�。睿酰睢荩ǎ酰�ｌ）ｎ，

　　則可用參變歸納法證明當 ｕ≥ｎ≥３ 時上式成立，原命題即可得證。

　　奠基 ｎ＝３ 時，對 ｕ≥３ 的一切 ｕ 均有

　　右端＝３ｕ３＝ｕ３＋ｕｕ２ｕ

　　≥ｕ３＋３ｕ＋ｇｕ

　　＞ｕ３＋３ｕ２＋３ｕ＋１

　�。剑ǎ酰�１）３＝右端

　　歸納 ｎ＝ｋ＋１ 時，

　　左端＝（ｋ＋１）Ｕｋ＋１＝ｕ（ｋ＋１）ｕｋ

　　＝（ｕｋ 十 ｕ）ｕｋ≥（ｕｋ 十 ｋ）Ｕｋ

　�。剑耄ǎ酰�ｌ）ｕｋ≥（ｎ＋１）（ｕ＋１）ｋ

　�。剑ǎ眨�ｌ）ｋ＋１＝右端。

　　所以當 ｕ≥ｎ≥３ 時，有 ｎｕｎ＞（ｕ＋ｌ）ｎ。

　　令 ｕ＝ｎ，上式便為 ｎｎ＋１≥（ｎ＋ｌ）ｎ，即為原不等式，故原不等式得證。

　　值得指出的是，上面三種形式的數(shù)學歸納法，都要求待證命題含有自然

　　數(shù)變元 ｎ，對 ｎ 施行歸納，ｎ 稱為歸納變元，但是在數(shù)學的一些分支中，有些

　　待證命題表面上看來似乎不含自然數(shù)變元 ｎ，但仔細一分析，實際上是含有

　　自然數(shù)變元的，當我們一旦把 ｎ 的含義明確以后，用數(shù)學歸納法去證明這些

　　待證命題就迎刃而解了。舉一個簡單的例子。

　　例 證明由｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝四個標識符利用＋、－運算符組成的任意算術

　　表達式中，所含標識符的個數(shù)一定等于這個表達式中運算符的個數(shù)加 １。

　　證：設任意的表達式為 ｆ，而歸納變元 ｎ 為 ｆ 中所含運算符的個數(shù)。

　　奠基 ｎ＝０，則 ｆ 由一個標識符組成（因為沒有運算符），所以命題成立。

　　歸納 假設 ｎ≤ｋ 時本命題成立，現(xiàn)證 ｎ＝ｋ＋１ 時本命題也成立。 ｆ 一

　　定是下述兩種情況之一：

　�。� 是 ｆ１＋ｆ２ 或 ｆ 是 ｆ１－ｆ２。

　　其中 ｆ１，ｆ２ 所含的運算符個數(shù)都小于 ｋ＋ｌ，對 ｆ１，ｆ２ 使用歸納假設，可

　　得 ｆ１＋ｆ２，ｆ１－ｆ２ 中所含標識符個數(shù)也比各自所含的運算符的個數(shù)多 １。

　�。ǎ矗�廣義歸納法。數(shù)學歸納法不僅可用于含有自然數(shù)變元 ｎ 的命題，經(jīng)

　　推廣后，還可用于含有某些其它集合上的命題。這種集合，稱為歸納集。對

　　于一個含有某個歸納集上的變元 ｘ 的待證命題 Ｐ（ｘ），所用的歸納法稱之為

　　廣義歸納法。

　　定義：設有一個集合 Ａ，如果它滿足下面三個性質(zhì)：

　�。ǎ保�ａ１，ａ２…，ａｎ 是 Ａ 中的元素（ｎ≥１）；

　�。ǎ玻┤绻� ｘ 是 Ａ 中元素，則 ｆ１１（ｘ），ｆ１２（ｘ），…ｆ１ｎ１（ｘ）也是 Ａ 中

　　的元素（ｎ、＞０）；

　　如果 ｘ，ｙ 是 Ａ 是元素，則 ｆ２１（ｘ、ｙ），ｆ２２（ｘ，ｙ），…ｆ２ｎ２（ｘ，ｙ）

　　也是 Ａ 中元素（ｎ２＞０）；…；

　　如果 ｘ１…，ｘｍ 是 Ａ 中元素，則 ｆｍ１ ｘｌ…ｘｍ），ｆｍ２（ｘｌ…，ｘｍ），…ｆｍｎｍ

　�。ǎ�１…，ｘｍ）也是 Ａ 中元素（ｍ≥ｌ，ｎｍ＞０）。

　�。ǎ常�Ａ 中的元素僅限于此。

　　則 Ａ 稱之為歸納集 ａ１，ａ２，…ａｎ 稱為該集的開始元素，諸 ｆｉｊ 稱為該集

　　的生成函數(shù)（其中第一下標為該函數(shù)的元素，第二下標以區(qū)分具有同樣元素

　　的各函數(shù)）。

　　按照上述的定義，自然數(shù)集是歸納集，它的開始元素是 ０，生成函數(shù)是 ｆ

　�。ǎ�）＝ｘ＋１。

　　前例中集｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝的元素利用“＋”，“－”運算所構成的一切表

　　達式的集合是歸納集，開始元素是是 ａ，ｂ，ｃ，ｄ，生成函數(shù)為 ｆ２１（ｘ，ｙ）

　�。剑�＋ｙ，ｆ２２（ｘ，ｙ）＝ｘ－ｙ。

　　在證明含有某個歸納集 Ａ 上的變元 Ｘ 的待證命題 Ｐ（ｘ）時，可用如下的

　　廣義歸納法。

　　奠基步要證明（ａｌ），Ｐ（ａ２），……Ｐ（ａｎ）成立，這里 ａｌ，ａ２…，ａｎ

　　是 Ａ 中的開始元素。

　　歸納法要證明對于 １≤ｉ≤ｍ 及 １≤ｊ≤ｎ 的所有 ｉ、ｊ 對于 Ａ 中的任何元

　　素 ｘ１，ｘ２…，ｘｉ，如果 Ｐ（ｘｌ），Ｐ（ｘ２），…，Ｐ（ｘ１）成立，則 Ｐ（ｆｉｊ（ｘｘ１，…，

　�。�ｉ））也成立。在例 ４ 中，因為表達式所組成的集合是歸納集（記為 Ａ），

　　我們可用廣義歸納法證之。

　　奠基：對于 Ａ 中的四個開始元素 ａ，ｂ，Ｃ，ｄ，因為它們的標識符個數(shù)為

　�。�， 而運算符個數(shù)均為 ０，所以命題成立。

　　歸納：對于 Ａ 中的元素 ｘ，ｙ，ｆ２１（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ 中，我們設 ｘ＋ｙ 標識

　　符個數(shù)為 ｍ，運算符個數(shù)為 ｎ；

　�。� 中標識符個數(shù)為 ｍｌ，運算符個數(shù)為 ｎｌ；

　　ｘ 中標識符個數(shù)為 ｍ２，運算符個數(shù)為 ｎ２；

　　則

　�。恚剑恚欤�ｍ２＝（ｎ１＋１）＋（ｎ２＋１）

　　（ｎｌ＋ｎ＋１）＋１＝ｎ＋１．

　　同理可證 ｆ２２（ｘ，ｙ）＝ｘ－ｙ 也有如上的結(jié)果，故依廣義歸納法，本命題

　　成立。

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