行列式的計算方法總結

行列式的計算方法總結

　　(一)首先，行列式的性質要熟練掌握

　　性質1行列互換，行列式的值不變。

　　性質2交換行列式的兩行(列)，行列式的值變號。

　　推論若行列式中有兩行(列)的對應元素相同，則此行列式的值為零。

　　性質3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，則k可提到行列式外。

　　推論1數(shù)k乘行列式，等于用數(shù)k乘該行列式的某一行(列)。

　　推論2若行列式有兩行(列)元素對應成比例，則該行列式的值為零。

　　性質4若行列式中某行(列)的每一個元素均為兩數(shù)之和，則這個行列式等于兩個行列式的和，這兩個行列式分別以這兩組數(shù)作為該行(列)的元素，其余各行(列)與原行列式相同。

　　性質5將行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不變。

　　行列式展開法：行列式按某行(列)展開也是解行列式常用的方法。

　　行列式展開定理：

　　定理1：n階行列式D等于它的任一行(列)的各元素與各自的代數(shù)余子式乘積之和。

　　定理2：行列式D的某一行(列)各元素與另一行(列)對應元素的代數(shù)余子式乘積之和必為零。

　　(二)幾種特殊行列式的值

　　為便于考生綜合復習及掌握概念間的聯(lián)系，現(xiàn)將以后各章所涉及的有關行列式的幾個重要公式羅列于下：

　　考研數(shù)學：行列式的計算

　　行列式是線性代數(shù)的一部分，題目比較靈活，下面小編為同學們簡單講一下行列式的幾種計算方法，希望同學們可以有所啟發(fā)，弄清楚這種類型題。

　　對于數(shù)值型行列式來說，我們先看低階行列式的計算，對于二階或者三階行列式其是有自己的計算公式的，我們可以直接計算。三階以上的行列式，一般可以運用行列式按行或者按列展開定理展開為低階行列式再進行計算，對于較復雜的三階行列式也可以考慮先進行展開。在運用展開定理時，一般需要先利用行列式的性質將行列式化為某行或者某列只有一個非零元的形式，再進行展開。特殊低階行列式可以直接利用行列式的性質進行求解。

　　對于高階行列式的計算，我們的基本思路有兩個：

　　一是利用行列式的性質進行三角化，也就是將行列式化為上三角或者下三角行列式來計算;

　　二是運用按行或者按列直接展開，其中運用展開定理的行列式一般要求有某行或者某列僅有一個或者兩個非零元，如果展開之后仍然沒有降低計算難度，則可以觀察是否能得到遞推公式，再進行計算。其中在高階行列式中我是用加邊法把其最終化為上(下)三角，或者就直接按行或者列直接展開了，展開后有的時候就直接是上或者下三角形行列式了，但有時其還不是上下三階，可能就要用到遞推的類型來處理此類題目了�？傊�，我們對于高階行列式要求不是很高，只要掌握幾種常見的情形的計算方法就可以了。

　　有的時候，對于那些比較特殊的形式，比如范德蒙行列式的類型，我們就直接把它湊成此類行列式，然后利用范德蒙行列式的計算公式就可以了，但是，我們一定要把范德蒙行列式的形式，一階其計算方法給它掌握住，我們在上課時也給同學們講解了其記憶的方面，希望同學們課下多多做些練習題進行鞏固。

　　當然對于行列式我們有時可能還會用到克萊默法則和拉普拉斯展開來計算，只是這些都是些特殊的行列式的計算，其有一定的局限性，比如1995年數(shù)三就考到了一題用克萊默法則來處理的填空題。

　　對于抽象型行列式來說，其計算方法就有可能是與后面的知識相結合來處理的。關于抽象型行列式的計算：

　　(1)利用行列式的性質來計算，這里主要是運用單行(列)可拆性來計算的，這種大多是把行列式用向量來表示的，然后利用單行或者列可拆性，把它拆開成多個行列式，然后逐個計算，這時一部分行列式可能就會出現(xiàn)兩行或者列元素相同或者成比例了，這樣簡化后便可求出題目中要求的行列式。

　　(2)利用矩陣的性質及運算來計算，這類題，主要是用兩個矩陣相乘的行列式等于兩個矩陣分別取行列式相乘，這里當然要求必須是方陣才行。這類題目的解題思路就是利用已知條件中的式子化和差為乘積的形式，進而兩邊再取行列式，便可得到所求行列式。之前很多年考研中都出現(xiàn)過此類填空或者選擇題。因此，此類題型同學們務必要掌握住其解題思路和方法，多做練習加以鞏固。

　　(3)利用單位矩陣的來求行列式，這類題目難度比前面題型要大，對矩陣的相關性質和結論要求比較高。早在1995年數(shù)一的考研試卷中出現(xiàn)過一題6分的解答題，這題就是要利用A乘以A的轉置等于單位矩陣E這個條件來代換的，把要求的式子中的單位矩陣換成這個已知條件來處理的。

　　(4)利用矩陣特征值來求行列式，這類題在考研中出現(xiàn)過很多次，利用矩陣的特征值與其行列式的關系來求行列式，即行列式等于矩陣特征值之積，這種方法要求同學們一定要掌握住，課下要多做些練習加以鞏固。

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