指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教案

時(shí)間：2024-10-15 01:57:58

指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教案

指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教案

　　[課題]

　　授課地點(diǎn)：佛岡中學(xué)高一（21）班

　　授課教師：

　　授課時(shí)間：

　　聽(tīng)課教師：高一級(jí)數(shù)學(xué)備課組

　　[目標(biāo)]

　　1.知識(shí)與技能：理解根式的概念，掌握n次方根的性質(zhì)

　　2.過(guò)程與方法：

　�。�1）.通過(guò)師生之間、學(xué)生與學(xué)生之間互相交流，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)共同學(xué)習(xí).

　�。�2）引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的邏輯合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性，做一個(gè)具備嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)態(tài)度的人.

　�。�3）通過(guò)探究、思考，培養(yǎng)學(xué)生思維遷移能力和主動(dòng)參與的能力

　　3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：

　�。�1）.新知識(shí)的發(fā)現(xiàn)是因?yàn)槊媾R的問(wèn)題以原有的知識(shí)得不到解決所引發(fā)出來(lái)的思考，通過(guò)學(xué)習(xí)根式的概念，使學(xué)生認(rèn)清基本概念的來(lái)龍去脈，加深對(duì)人類(lèi)認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律的理解和認(rèn)識(shí)，體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.

　�。�2）在過(guò)程中，通過(guò)學(xué)生的自主探索，來(lái)加深理解n次方根的性質(zhì)，具有探索能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方面。

　　[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)]：

　　1. 重點(diǎn)：1.根式的概念.。2.n次方根的性質(zhì)。

　　2.難點(diǎn)：1.根式概念的理解。2.n次方根性質(zhì)的理解。

　　[教學(xué)方法與手段]

　　1.教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式、探究式教學(xué)

　　2.教學(xué)手段：運(yùn)用多媒體教學(xué)

　　[教學(xué)過(guò)程]

　　一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

　　師：你們知道考古學(xué)家是怎樣來(lái)判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的嗎？

　　生：對(duì)生物體化石的研究.

　　師：那么他們是怎樣來(lái)判斷該生物體所處的年代的?你們知道嗎?

　�。ū娚鷵u頭）

　　師：考古學(xué)家是按照這樣一個(gè)規(guī)律來(lái)推測(cè)的.

　　問(wèn)題：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系式應(yīng)該怎樣表示呢?我們可以先來(lái)考慮這樣的問(wèn)題：

　　當(dāng)生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它體內(nèi)碳14的含量P分別為原來(lái)的多少?

　　生：，（）2，（）3，….

　　師：當(dāng)生物體死亡了6000年，10000年，100000年后，它體內(nèi)碳14的含量P分別為原來(lái)的多少?

　　生：（），（），（） .

　　師：由以上的實(shí)例來(lái)推斷關(guān)系式應(yīng)該是什么?

　　生：P=（） .

　　師：考古學(xué)家根據(jù)上式可以知道，生物死亡t年后，體內(nèi)碳14含量P的值.那么這些數(shù)（），（），（）的意義究竟是什么呢？它和我們初中所學(xué)的指數(shù)有什么區(qū)別?

　　生：這里的指數(shù)是分?jǐn)?shù)的形式.

　　師：指數(shù)可以取分?jǐn)?shù)嗎?除了分?jǐn)?shù)還可以取其他的數(shù)嗎?我們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)規(guī)律是怎樣的?

　　生：自然數(shù)??整數(shù)??分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）??實(shí)數(shù).

　　師：指數(shù)能否取分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）、無(wú)理數(shù)呢？如果能，那么在脫離開(kāi)上面這個(gè)具體問(wèn)題以后，關(guān)系式P=（）就會(huì)成為我們后面將要相繼研究的一類(lèi)基本初等函數(shù)??“指數(shù)函數(shù)”的一個(gè)具體模型.為了能水到渠成地研究指數(shù)函數(shù)，我們有必要認(rèn)識(shí)一下指數(shù)概念的擴(kuò)充和完善過(guò)程，這就是我們下面三節(jié)課將要研究的內(nèi)容：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（有理數(shù)指數(shù)冪）、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪.

　�。ㄒ胝n題，書(shū)寫(xiě)課題??指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算）

　　二、講解新課

　�。ㄒ唬┨角髇次方根的概念

　　師：32=9，那么，在這個(gè)等式中3對(duì)于9來(lái)說(shuō)，扮演著什么角色？9對(duì)于3來(lái)說(shuō)又扮演著什么角色呢?

　　生：9叫做3的平方數(shù)，3叫做9的平方根.

　　師：若53=125，那么125對(duì)于5來(lái)說(shuō)，扮演著什么角色？5對(duì)于125來(lái)說(shuō)又扮演著什么角色呢?

　　生：125是5的立方數(shù)，5是125的立方根.

　　師：如果x2=a，那么x對(duì)于a來(lái)說(shuō)扮演著什么角色？

　　生：x是a的平方根.

　　師：能否用一句話(huà)描述你的結(jié)論？

　　生：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根.

　　師：如果x3=a，那么x對(duì)于a來(lái)說(shuō)又扮演著什么角色？

　　生：x是a的立方根.

　　師：能換一種說(shuō)法表述你的結(jié)論嗎？

　　生：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根.

　　師：如果x4=a，x5=a，又有什么樣的結(jié)論呢？

　　生：如果一個(gè)數(shù)的四次方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的四次方根；如果一個(gè)數(shù)的五次方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的五次方根.

　　師：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否據(jù)此得到一個(gè)一般性的結(jié)論？

　　生：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.

　　師：上述結(jié)論中的n的取值有沒(méi)有什么限制呢？

　�。ㄉ剿�，完善n次方根的定義，并強(qiáng)調(diào)n的取值范圍，師板書(shū)如下定義）

　　一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根（n?throot），其中n＞1，且n∈N*.

　�。ǘ└拍罾斫�

　　課堂訓(xùn)練：

　　試根據(jù)n次方根的定義分別求出下列各數(shù)的n次方根.

　　（多媒體顯示，生完成）

　�。�1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；

　�。�4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.

　�。◣熃M織學(xué)生緊扣n次方根的定義，完成以上各題）

　　方法引導(dǎo)：在n次方根的概念中，關(guān)鍵的是數(shù)a的n次方根x滿(mǎn)足xn=a，因此求一個(gè)數(shù)a的n次方根，就是求出哪個(gè)數(shù)的n次方等于a.

　　（三）n次方根的性質(zhì)

　　合作探究：觀察并分析以上各數(shù)的方根，你能發(fā)現(xiàn)什么？

　　（學(xué)生交流，師及時(shí)捕捉與如下結(jié)論有關(guān)的信息，并簡(jiǎn)單板書(shū)）

　　1.以上各數(shù)的對(duì)應(yīng)方根都是有理數(shù)；

　　2.第（1）、第（4）的答案有兩個(gè)，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一個(gè)；

　　3.第（1）題的答案中的兩個(gè)值互為相反數(shù).

　　師：請(qǐng)仔細(xì)分析以上各題，你能否得到一個(gè)一般性的結(jié)論？

　�。ㄌ峁┮粋€(gè)比較發(fā)散的問(wèn)題，給學(xué)生提供廣闊的思維空間，培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力和數(shù)學(xué)的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力）

　　生甲：一個(gè)數(shù)的奇次方根只有一個(gè).

　　生乙：一個(gè)數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù).

　　師：是否任何一個(gè)數(shù)都有偶次方根？0的n次方根如何規(guī)定更合理？

　　生：因?yàn)槿魏我粋€(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根，0的n次實(shí)數(shù)方根等于0.

　　師：你能否把你所得到的結(jié)論再敘述的具體一些呢？

　�。ńM織學(xué)生交流，得出以下結(jié)論）

　　n次方根的性質(zhì)實(shí)際上是平方根和立方根性質(zhì)的推廣，因此跟立方根和平方根的情況一樣，方根也有如下性質(zhì)：

　�。�1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí)，a的n次方根用符號(hào) 表示.

　�。�2）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào) 表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)－表示.正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫(xiě)成± （a＞0）.

　　注：①負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；

　�、�0的任何次方根都是0，記作 =0；

　�、郛�(dāng)a≥0時(shí)， ≥0，所以類(lèi)似 =±2的寫(xiě)法是錯(cuò)誤的.

　　（四）根式的概念

　　式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).

　　例如叫做根式，其中5叫做根指數(shù)，6叫做被開(kāi)方數(shù).

　�。ㄎ澹﹏次方根的運(yùn)算性質(zhì)

　　求下列各式的值：

　�。�1）（）2；（2）；（3）；（4）（a＞3）.

　�。ㄉ逖荩瑤熃M織學(xué)生評(píng)析）

　　解：（1）（）2=5；（2） =－2；（3） =－2=2；（4） =

　　3－a=a－3.

　　師：上面的例題中涉及了哪幾類(lèi)問(wèn)題?

　　生：主要涉及了（）n與的問(wèn)題.

　　合作探究：（1）（）n的含義是什么？其化簡(jiǎn)結(jié)果是什么呢？

　　（2）的含義是什么？其化簡(jiǎn)結(jié)果是什么呢？

　�。ńM織學(xué)生結(jié)合例題及其解答，進(jìn)行分析討論、歸納出以下結(jié)論）

　�。�1）（）n=a.例如，（）3=27，（）5=－ 32.

　�。�2）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)， =a；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)， =a= 例如， =－2， =2； =3， =－3=3.

　�。├}講解

　�。ㄉ逖荩瑤熃M織學(xué)生進(jìn)行課堂評(píng)價(jià)）

　　【例1】求下列各式的值：

　�。�1）（）3；（2）；（3）；（4）（a＞b）.

　　解：（1）（）3=－8；（2） =10；

　�。�3） =π－3；（4） =a－b=a－b.

　　【例2】化簡(jiǎn)下列各式：

　�。�1）；（2）；（3）；（4）；（5） .

　　解：（1） = = = ；（2） = = ；

　�。�3） =－ =－；（4） = =x2；

　　（5） = = .

　　三、課堂練習(xí)

　　1.若x∈ R，y∈R，下列各式中正確的是

　　A. =x+y B. － =x－y

　　C. + =2xD. + =0

　　2. = 成立的條件是

　　A. ≥0B.x≠1C.x＜1D.x≥2

　　3.在① ；② ；③ ；④ （各式中n∈N，a∈R）中，有意義的是

　　A.①②B.①③C.①②③④D.①③④

　　4.當(dāng)8＜x＜10時(shí)，－ =________.

　　參考答案：

　　1.D2.D3.B4.2x－18

　　四、課堂小結(jié)

　　師：請(qǐng)同學(xué)們互相交流一下你在本課學(xué)習(xí)中的收獲.

　�。ㄉハ嘟涣�，而后由師多媒體顯示如下內(nèi)容）

　　1.若xn=a（n＞1，n∈N*），則x叫做a的n次方根.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的n次方根用符號(hào) 表示；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n次方根用符號(hào)± 表示，負(fù)數(shù)的偶次方根無(wú)意義.式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).

　　2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).正數(shù)的偶次方根是兩個(gè)絕對(duì)值相等符號(hào)相反的數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次方根沒(méi)有意義；0的任何次方根都是0.

　　3.（1）（）n=a.

　�。�2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， =a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， =a=

　　五、布置作業(yè)

　　（一）復(fù)習(xí)課本第5本P69習(xí)題2.1A組第1題.

　　板書(shū)設(shè)計(jì)

　　2.1.1指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（1）

　　一、基本概念和性質(zhì)

　　1.n次方根的定義

　　2.n次方根的性質(zhì)

　　3.根式的定義

　　4.n次方根的運(yùn)算性質(zhì)

　　二、例題解析即學(xué)生訓(xùn)練板演