高中數(shù)學(xué) 基本不等式的證明示范教案新人教A版必修5高三

時(shí)間：2022-03-01 19:20:41 教案我要投稿

　　在日常生活或是工作學(xué)習(xí)中，要用到證明的情況還是蠻多的，證明是可供核驗(yàn)事實(shí)的憑證。想必許多人都在為如何寫(xiě)好證明而煩惱吧，以下是小編收集整理的高中數(shù)學(xué) 基本不等式的證明示范教案新人教A版必修5高三，歡迎閱讀與收藏。

高中數(shù)學(xué) 基本不等式的證明示范教案新人教A版必修5高三

　　在前兩節(jié)課的研究當(dāng)中，學(xué)生已掌握了一些簡(jiǎn)單的不等式及其應(yīng)用，并能用不等式及不等式組抽象出實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系，掌握了不等式的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學(xué)習(xí)了二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題。本節(jié)課的研究是前三大節(jié)學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展。另外，為基本不等式的應(yīng)用墊定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，所以說(shuō)，本節(jié)課是起到了承上啟下的作用。本節(jié)課是通過(guò)讓學(xué)生觀察第２４屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)圖案中隱含的相等關(guān)系與不等關(guān)系而引入的通過(guò)分析得出基本不等式，然后從三種角度對(duì)基本不等式展開(kāi)證明及對(duì)基本不等式展開(kāi)一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用,進(jìn)而更深一層次地從理性角度建立不等觀念。教師應(yīng)作好點(diǎn)撥，利用幾何背景，數(shù)形結(jié)合做好歸納總結(jié)、邏輯分析，并鼓勵(lì)學(xué)生從理性角度去分析探索過(guò)程，進(jìn)而更深層次理解基本不等式，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法獲得過(guò)程的探索，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，

　　根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進(jìn)行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助。

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　1、創(chuàng)設(shè)代數(shù)與幾何背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；

　　2、從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程；

　　3、從基本不等式的證明過(guò)程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路。

　　教學(xué)難點(diǎn)

　　1、對(duì)基本不等式從不同角度的探索證明；

　　2、通過(guò)基本不等式的證明過(guò)程體會(huì)分析法的證明思路。

　　教具準(zhǔn)備多媒體及課件

　　三維目標(biāo)

　　一、知識(shí)與技能

　　1、創(chuàng)設(shè)用代數(shù)與幾何兩方面背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；

　　2、嘗試讓學(xué)生從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程；

　　3、從基本不等式的證明過(guò)程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路，即由條件到結(jié)論，或由結(jié)論到條件。

　　二、過(guò)程與方法

　　1、采用探究法，按照聯(lián)想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；

　　2、教師提供問(wèn)題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；

　　3、將探索過(guò)程設(shè)計(jì)為較典型的具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

　　三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

　　1、通過(guò)具體問(wèn)題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣；

　　2、學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量；

　　3、通過(guò)對(duì)富有挑戰(zhàn)性問(wèn)題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘、數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

　　教學(xué)過(guò)程

　　導(dǎo)入新課

　　探究：上圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客，你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

　�。ń處熡猛队皟x給出第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，并介紹此會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。通過(guò)直觀情景導(dǎo)入有利于吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義熱情）

　　推進(jìn)新課

　　師同學(xué)們能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？

　�。ǔ领o片刻）

　　生應(yīng)該先從此圖案中抽象出幾何圖形。

　　師此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學(xué)能在黑板上畫(huà)出這個(gè)幾何圖形？

　　（請(qǐng)兩位同學(xué)在黑板上畫(huà)。教師根據(jù)兩位同學(xué)的板演作點(diǎn)評(píng)）

　�。ㄆ渲兴膫€(gè)直角三角形沒(méi)有畫(huà)全等，不形象、直觀。此時(shí)教師用投影片給出隱含的規(guī)范的幾何圖形）

　　師同學(xué)們觀察得很細(xì)致，抽象出的幾何圖形比較準(zhǔn)確。這說(shuō)明，我們只要在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步刻苦努力，發(fā)奮圖強(qiáng)，也能作出和數(shù)學(xué)家趙爽一樣的成績(jī)。

　�。ù藭r(shí)，每一位同學(xué)看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來(lái)）

　�。圻^(guò)程引導(dǎo)］

　　師設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，那么，四個(gè)直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關(guān)系呢？

　　生顯然正方形的面積大于四個(gè)直角三角形的面積之和。

　　師一定嗎？

　　（大家齊聲：不一定，有可能相等）

　　師同學(xué)們能否用數(shù)學(xué)符號(hào)去進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明，從而說(shuō)明我們剛才直覺(jué)思維的`合理性？

　　生每個(gè)直角三角形的面積為，四個(gè)直角三角形的面積之和為2ab。正方形的邊長(zhǎng)為，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b2≥2ab。

　　師這位同學(xué)回答得很好，表達(dá)很全面、準(zhǔn)確，但請(qǐng)大家思考一下，他對(duì)a2+b2≥2ab證明了嗎？

　　生沒(méi)有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達(dá)一下而已。

　　師回答得很好。

　�。ㄓ械耐瑢W(xué)感到迷惑不解）

　　師這樣的敘述不能代替證明。這是同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)經(jīng)常會(huì)犯的錯(cuò)誤。實(shí)質(zhì)上，對(duì)文字性語(yǔ)言敘述證明題來(lái)說(shuō)，他只是寫(xiě)出了已知、求證，并未給出證明。

　�。ㄓ械耐瑢W(xué)竊竊私語(yǔ)，確實(shí)是這樣，并沒(méi)有給出證明）

　　師請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab。

　　生采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個(gè)完全平方數(shù)，它是非負(fù)數(shù)，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。

　　師同學(xué)們思考一下，這位同學(xué)的證明是否正確？

　　生正確。

　�。劢處熅v］

　　師這位同學(xué)的證明思路很好。今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小是否一樣。

　　生實(shí)質(zhì)一樣，只是設(shè)問(wèn)的形式不同而已。一個(gè)是比較大小，一個(gè)是讓我們?nèi)プC明。

　　師這位同學(xué)回答得很好，思維很深刻。此處的比較法是用差和0作比較。在我們的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，還有另一種“比較法”。

　�。ń處煷颂幍脑O(shè)問(wèn)是針對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)而言）

　　生作商，用商和“1”比較大小。

　　師對(duì)。那么我們?cè)谟龅竭@類問(wèn)題時(shí)，何時(shí)采用作差，何時(shí)采用作商呢？這個(gè)問(wèn)題讓同學(xué)們課后去思考，在解決問(wèn)題中自然會(huì)遇到。

　�。ù颂幵O(shè)置疑問(wèn)，意在激發(fā)學(xué)生課后去自主探究問(wèn)題，把探究的思維空間切實(shí)留給學(xué)生）

　�。酆献魈骄浚�

　　師請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察一下，等號(hào)何時(shí)取到。

　　生當(dāng)四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合時(shí)，即面積相等時(shí)取等號(hào)。

　�。▽W(xué)生的思維仍建立在感性思維基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥）

　　師從不等式a2+b2≥2ab的證明過(guò)程能否去說(shuō)明。

　　生當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=0，即a=b時(shí)，取等號(hào)。

　　師這位同學(xué)回答得很好。請(qǐng)同學(xué)們看一下，剛才兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個(gè)角度分析等號(hào)成立的條件是否一致。

　�。ù蠹引R聲）一致。

　�。ù颂幰庠趶�(qiáng)化學(xué)生的直覺(jué)思維與理性思維要合并使用。就此問(wèn)題來(lái)講，意在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用）

　　板書(shū)：

　　一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。

　�。圻^(guò)程引導(dǎo)］

　　師這是一個(gè)很重要的不等式。對(duì)數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論，我們應(yīng)仔細(xì)觀察、思考，才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延。只有這樣，我們用它來(lái)解決問(wèn)題時(shí)才能得心應(yīng)手，也不會(huì)出錯(cuò)。

　�。ㄍ瑢W(xué)們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥、指引）

　　師當(dāng)a＞0,b＞0時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。

　　生完全可以。

　　師為什么？

　　生因?yàn)椴坏仁街械腶、b∈R。

　　師很好，我們來(lái)看一下代替后的結(jié)果。

　　板書(shū)：

　　即 (a＞0,b＞0)。

　　師這個(gè)不等式就是我們這節(jié)課要推導(dǎo)的基本不等式。它很重要，在數(shù)學(xué)的研究中有很多應(yīng)用，我們常把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，把a(bǔ)b叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

　�。ù颂幰庠谝饘W(xué)生的重視，從不同的角度去理解）

　　師請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下，能否利用不等式及實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出這個(gè)不等式呢？

　�。ù藭r(shí)，同學(xué)們信心十足，都說(shuō)能。教師利用投影片展示推導(dǎo)過(guò)程的填空形式）

　　要證：，①

　　只要證a+b≥2，②

　　要證②，只要證：a+b-2≥0，③

　　要證③，只要證：④

　　顯然④是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，④中的等號(hào)成立，這樣就又一次得到了基本不等式。

　　（此處以填空的形式,突出體現(xiàn)了分析法證明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時(shí)空切實(shí)留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上去體會(huì)分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度）

　　［合作探究］

　　老師用投影儀給出下列問(wèn)題。

　　如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b。過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DD′，連結(jié)AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？

　�。ū竟�(jié)課開(kāi)展到這里，學(xué)生從基本不等式的證明過(guò)程中已體會(huì)到證明不等式的常用方法，對(duì)基本不等式也已經(jīng)很熟悉，這就具備了探究這個(gè)問(wèn)題的知識(shí)與情感基礎(chǔ)）

　�。酆献魈骄浚�

　　師同學(xué)們能找出圖中與a、b有關(guān)的線段嗎？

　　生可證△ACD ∽△BCD,所以可得。

　　生由射影定理也可得。

　　師這兩位同學(xué)回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？

　　生表示半弦長(zhǎng)，表示半徑長(zhǎng)。

　　師半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？

　　生由半徑大于半弦可得。

　　師這位同學(xué)回答得是否很嚴(yán)密？

　　生當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a=b時(shí)可取等號(hào)，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0)。

　　課堂小結(jié)

　　師本節(jié)課我們研究了哪些問(wèn)題？有什么收獲？

　　生我們通過(guò)觀察分析第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)得出了不等式a2+b2≥2ab。

　　生由a2+b2≥2ab,當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，以、分別代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0)。進(jìn)而用不等式的性質(zhì)，由結(jié)論到條件，證明了基本不等式。

　　生在圓這個(gè)幾何圖形中我們也能得到基本不等式。

　�。ù颂帲瑒�(chuàng)造讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)的機(jī)會(huì)，目的是培養(yǎng)學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力，也有利于課外學(xué)生歸納、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法、能力的提高）

　　師大家剛才總結(jié)得都很好，本節(jié)課我們從實(shí)際情景中抽象出基本不等式。并采用數(shù)形結(jié)合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進(jìn)一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。在對(duì)不等式的證明過(guò)程中，體會(huì)到一些證明不等式常用的思路、方法。以后，同學(xué)們要注意數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的靈活運(yùn)用。

　　布置作業(yè)

　　活動(dòng)與探究：已知a、b都是正數(shù)，試探索, ,,的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

　　分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達(dá)式的大小關(guān)系，再由不等式及實(shí)數(shù)的性質(zhì)證明。

　　（方法二）創(chuàng)設(shè)幾何直觀情景。設(shè)AC=a,BC=b，用a、b表示線段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的長(zhǎng)度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得。

　　板書(shū)設(shè)計(jì)

　　基本不等式的證明

　　一、實(shí)際情景引入得到重要不等式

　　a2＋b2≥2ab

　　二、定理

　　若a＞0，b＞0

　　課后作業(yè)：

　　證明過(guò)程探索：