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三角形教學(xué)設(shè)計(jì)

時(shí)間:2021-06-12 09:17:37 教學(xué)設(shè)計(jì) 我要投稿

三角形教學(xué)設(shè)計(jì)

  在本章中約定用A,B,C分別表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角,a, b, c分別表示它們所對(duì)的各邊長(zhǎng), 為半周長(zhǎng)。

三角形教學(xué)設(shè)計(jì)

  1.正弦定理: =2R(R為△ABC外接圓半徑)。

  推論1:△ABC的`面積為S△ABC=

  推論2:在△ABC中,有bcsC+ccsB=a.

  推論3:在△ABC中,A+B= ,解a滿(mǎn)足 ,則a=A.

  正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到,這里不再給出,下證推論。先證推論1,由正弦函數(shù)定義,BC邊上的高為bsinC,所以S△ABC= ;再證推論2,因?yàn)锽+C= -A,所以sin(B+C)=sinA,即sinBcsC+csBsinC=sinA,兩邊同乘以2R得bcsC+ccsB=a;再證推論3,由正弦定理 ,所以 ,即sinasin( -A)=sin( -a)sinA,等價(jià)于 [cs( -A+a)-cs( -A-a)]= [cs( -a+A)-cs( -a-A)],等價(jià)于cs( -A+a)=cs( -a+A),因?yàn)?< -A+a, -a+A< . 所以只有 -A+a= -a+A,所以a=A,得證。

  2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccsA ,下面用余弦定理證明幾個(gè)常用的結(jié)論。

 。1)斯特瓦特定理:在△ABC中,D是BC邊上任意一點(diǎn),BD=p,DC=q,則AD2= (1)

  【證明】 因?yàn)閏2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcs ,

  所以c2=AD2+p2-2ADpcs ①

  同理b2=AD2+q2-2ADqcs , ②

  因?yàn)?ADB+ ADC= ,

  所以cs ADB+cs ADC=0,

  所以q×①+p×②得

  qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q),即AD2=

  注:在(1)式中,若p=q,則為中線長(zhǎng)公式

 。2)海倫公式:因?yàn)?b2c2sin2A= b2c2 (1-cs2A)= b2c2 [(b+c) -a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).

  這里

  所以S△ABC=

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