平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用的說課稿
1 教材與學(xué)情分析
“平面向量的應(yīng)用”這節(jié)教材在二期課改課本第 10 章最后一節(jié) 10.6，屬于拓展內(nèi)容。教材選取 5 個例題說明向量作為工具在數(shù)學(xué)、物理中的廣泛應(yīng)用性，其中例 1 和例 2 說明向量在平面幾何中的應(yīng)用，例 3（柯西不等式的證明）說明向量在代數(shù)中的應(yīng)用，例 4 和例 5 說明向量在力學(xué)中的應(yīng)用。已學(xué)完“力學(xué)”的高二學(xué)生對向量在力學(xué)中的應(yīng)用并不陌生，聯(lián)想向量相等、平行向量的關(guān)系、垂直向量的關(guān)系等解決平面幾何問題讓學(xué)生感到也較自然，因為這是形——形的轉(zhuǎn)化、很直觀，而且涉及的向量知識也較容易，學(xué)生掌握得也好。而聯(lián)想向量模的意義、“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關(guān)系”、“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”、將“向量加法的多邊形法則”轉(zhuǎn)化為 “有關(guān)坐標(biāo)的等式”等解決函數(shù)最值、不等式和等式證明、三角求值等問題讓學(xué)生感到比較困難，其原因之一是以上的知識掌握和理解有一定的難度，二是聯(lián)想構(gòu)造“數(shù)——形——數(shù)”轉(zhuǎn)化的要求高、綜合性強、較抽象，三是教學(xué)中能力培養(yǎng)不到位，因此在“平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用”的教學(xué)中能力培養(yǎng)是關(guān)鍵。
本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)“向量在平面幾何中的應(yīng)用”基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)“向量在代數(shù)中的應(yīng)用”。圍繞以上向量的概念和運算性質(zhì)的應(yīng)用精心問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析表達式的特征，聯(lián)想向量知識，通過構(gòu)造向量將已知條件或結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量表達、進行向量運算或向量性質(zhì)的應(yīng)用將所得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為所求結(jié)論的過程，學(xué)生會對數(shù)學(xué)思想方法中的“數(shù)形結(jié)合”、“轉(zhuǎn)化”等有更深刻的理解；通過變式教學(xué)、特殊與一般的研究，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣；通過錯誤辨析、一題多解、一題多變的探究，夯實學(xué)生基礎(chǔ)，達到深刻理解向量的概念，熟練掌握向量的運
算和性質(zhì)的目的，因而本節(jié)課的教學(xué)有助于學(xué)生能力的提高。
本課的教學(xué)對象為松江二中高二學(xué)生，他們已較好地理解了向量的概念，比較熟練地掌握向量的運算和性質(zhì)，并能進行簡單應(yīng)用，有“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用意識，善于思考和發(fā)現(xiàn)，有較高的認(rèn)知水平。因此，有可能也有必要引導(dǎo)他們進行問題探究。關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”的思想應(yīng)用，來源于兩個方面，一是已體會到向量本身就是一個數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，它兼具代數(shù)的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀特點，二是通過基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，體會到應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”研究函數(shù)性質(zhì)、解決函數(shù)的零點、方程和不等式的解等問題。正如美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并能創(chuàng)造性思索問題的解法”。所以本節(jié)課以“向量在代數(shù)中的應(yīng)用”為載體，進一步讓學(xué)生體驗“數(shù)形結(jié)合”、“轉(zhuǎn)化”的思想應(yīng)用為目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神為歸宿，促進學(xué)生思維能力的提高。
2．教學(xué)目標(biāo)
2．1 學(xué)生通過問題探究，深刻理解向量的概念，熟練掌握向量的運算和性質(zhì)，并能著意聯(lián)想恰當(dāng)應(yīng)用，解決有關(guān)代數(shù)問題；
2．2 學(xué)生通過一題多解、一題多變的研究，揭示向量在代數(shù)問題中的應(yīng)用本質(zhì)，體驗數(shù)形結(jié)合思想及特殊與一般關(guān)系的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。
3．教學(xué)重點、難點、注意點
本課重點是加深向量概念、向量的運算和性質(zhì)的理解，并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想解決有關(guān)代數(shù)問題；難點是如何數(shù)形轉(zhuǎn)化和有關(guān)向量模的不等式等號成立的本質(zhì)理解；注意點要求學(xué)生規(guī)范表達數(shù)形結(jié)合解題的步驟。
重點突破：以問題為出發(fā)點，觀察、分析、展開聯(lián)想，實踐探索，展示學(xué)生在討論、回答過程中的思維活動，體會問題本質(zhì)。難點突破：復(fù)習(xí)回顧有關(guān)“向量實數(shù)化”的特征，如模、數(shù)量積、坐標(biāo)的表示等，通過問題銜接設(shè)計，鋪墊暗示，一題多解、一題多變、錯題辨析、幾何畫板的應(yīng)用等達到突破難點目的。
4． 教學(xué)方法與教學(xué)手段
4．1 充分體現(xiàn)“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的原則
注重問題設(shè)計，體現(xiàn)教師的導(dǎo)向功能，展示學(xué)生是展開聯(lián)想的主體；
重視實踐探索，體現(xiàn)教師的導(dǎo)律功能，展示學(xué)生是揭示規(guī)律的主體
應(yīng)用媒體實驗，體現(xiàn)教師的導(dǎo)標(biāo)功能，展示學(xué)生是體驗演示的主體
4．2 采取教師指導(dǎo)下的學(xué)生實踐、探索的模式，把問題作為教學(xué)的出發(fā)點，指導(dǎo)嘗試，總結(jié)反思。
4．3 powerpoint、幾何畫板、多媒體系統(tǒng)
5．課堂設(shè)計
5．1 新課引入
�。�1）用 PPT 在屏幕上顯示華羅庚的相片和華羅庚關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”的至理名言“數(shù)缺形時少直觀 形離數(shù)時難入微”的話，讓學(xué)生體驗數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中非常重要的'思想和解決問題的常用策略，以數(shù)學(xué)家的語言激發(fā)同學(xué)進一步學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望；
�。�2）向量本身就是一個數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，它兼具代數(shù)的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀特點，引導(dǎo)學(xué)生回顧有關(guān)“向量實數(shù)化”的特征，如模、數(shù)量積、坐標(biāo)的表示等，期望能進一步說出有關(guān)的不等式和等式，如模的意義、“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關(guān)系”、“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”、將“向量加法的多邊形法則”轉(zhuǎn)化為 “有關(guān)坐標(biāo)的等式”……
（3）提出課題，在學(xué)習(xí)“向量在平面幾何中的應(yīng)用”基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)“向量在代數(shù)中的應(yīng)用”。
5．2 問題探究
出示問題 1. 設(shè) a、b 為不相等的實數(shù)， 要求學(xué)生自主探索、相互討論。
預(yù)計：學(xué)生思路分下列三種類型：（1）有根號想到兩次平方分析；（2）由根號內(nèi)的現(xiàn)性特征，聯(lián)想向量的模概念，構(gòu)造向量，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量表達式，從而揭示“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關(guān)系”本質(zhì)；（3）由根號內(nèi)的現(xiàn)性特征，聯(lián)想兩點間距離公式，構(gòu)造點坐標(biāo)，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為平面上三點間距離的不等關(guān)系，從而揭示“兩線段長度之和（差）大于或等于（小于或等于）第三線段的長”本質(zhì)。
分析：學(xué)生討論三種方法的異同點，期望說出（1）是處理絕對值和根號的一般代數(shù)方法；而（2）（3）都是應(yīng)用數(shù)形轉(zhuǎn)化解決，體現(xiàn)本問題的特殊性，且強調(diào)（2）（3）兩種方法解題原理相同……
總結(jié)用向量解決代數(shù)問題的步驟：
�。�1）構(gòu)造向量,將已知條件或結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量表達式 (數(shù)----形);
�。�2）進行向量運算或向量性質(zhì)的應(yīng)用;
�。�3）將所得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為所求的結(jié)論(形----數(shù)).
老師板書示范后，引導(dǎo)學(xué)生討論，條件不變的前提下，由于構(gòu)造向量或向量性質(zhì)應(yīng)用的差異，會得到不同的結(jié)論，期望同學(xué)一題多變 ……
注意：“兩向量和與差的模與向量模的和與差的不等關(guān)系”等號成立的條件，為下面突破難點作好鋪墊。
練一練
求函數(shù)的 最小值.
由學(xué)生的錯誤答案 13 ，引導(dǎo)學(xué)生尋找錯誤原因，并通過幾何畫板演示最小值取得的條件。強調(diào)最值的驗證，揭示數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)，突破難點。
引導(dǎo)：當(dāng)看到
出示問題 2，即課本 P50 例 3，讓學(xué)生討論總結(jié)“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”的應(yīng)用，就證明了柯西不等式，此時預(yù)計學(xué)生比較活躍，課堂進入高潮……
變式
并指出等號成立的充要條件.
預(yù)計：許多學(xué)生已觀察出仍然是“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”的應(yīng)用，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)本質(zhì)，體會柯西不等式所反映實數(shù)關(guān)系的奇妙性，感受一般與特殊關(guān)系。
注意：“數(shù)量積的平方小于或等于模的平方的積”中等號成立的條件，為下面練習(xí)鋪墊，。
練一練
預(yù)計：學(xué)生使用計算器，很快發(fā)現(xiàn)值為 0……
教師因勢利導(dǎo)：你能不用計數(shù)器解決嗎？觀察角構(gòu)成的等差數(shù)列的代數(shù)特征，公差為 72 ，項數(shù)為 5，如果構(gòu)造五個單位向量且順次連接，那么將會得到什么圖形？學(xué)生動手實驗畫圖、幾何畫板演示，學(xué)生觀察、體驗。
預(yù)計：學(xué)生回答正五邊形，并很快解釋值為 0 的理由，將五個單位向量的起點放在原點處，終點連接，也構(gòu)成正五邊形，原點為其中心，由力學(xué)知識所知，五個單位向量的和為零向量。
教師給予表揚，強調(diào)同學(xué)有很好的直覺思維，因為一個真理的發(fā)現(xiàn)很重要，而證明只是一個時間問題。正如大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓有句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)�！� 并鼓勵他完成邏輯證明。
教師點撥：既然構(gòu)造五個單位向量能組成正五邊形，那么對于多邊形有怎樣的向量運算性質(zhì)呢？
學(xué)生：此時五個單位向量的和為零向量的結(jié)論有了依據(jù)，學(xué)生興奮不已，而且得到了一個“副產(chǎn)品”，這五個角的正弦和也為 0。
由此引導(dǎo)學(xué)生自我編題，體驗一類三角求值的本質(zhì)特點，從而進行一般研究。
推廣：
5.3 課堂總結(jié)，
�。�1） 深化理解向量概念，熟練掌握向量的運算和性質(zhì)。掌握平面向量在代數(shù)中應(yīng)用的解題步驟。
�。�2）善于抽象概括 ，從而做到觸類旁通； 研究問題的數(shù)學(xué)特征（代數(shù)意義、幾何意義），善于聯(lián)想，使數(shù)量關(guān)系與幾何形式有機結(jié)合。
�。�3）通過問題探究，應(yīng)注重邏輯思維和直覺思維的有機滲透，因為直覺思維是創(chuàng)造性思維活動的一種表現(xiàn)。
5.4 注意
向量是解決數(shù)學(xué)問題的一個工具，當(dāng)然如果不用向量，也可以解決有關(guān)問題。
但是如果由代數(shù)特征，聯(lián)想向量的概念和運算，巧設(shè)向量解題，那么可以簡化問題解決，也可以加強數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。
5.5 作業(yè)（為進一步鞏固本課所學(xué)知識和方法，完成下列作業(yè)，因課上時間）
5.6 板書
投影和黑板（在代數(shù)中應(yīng)用向量的運算性質(zhì)解題的工具和問題 1 的解題過程及問題 2、3 的簡要過程一直留在黑板上，其它都通過投影顯示。）
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