垂徑定理及其推論的說(shuō)課稿

　　各位專家、評(píng)委：

　　你們好！很高興能有機(jī)會(huì)參加這次活動(dòng)，并得到您的指導(dǎo)。

　　我說(shuō)課的題目是：圓的軸對(duì)稱性——垂徑定理及其推論。它是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第二十四章第一節(jié)的第二部分《垂直于弦的直徑》的內(nèi)容。。

　　這部分內(nèi)容教材安排了兩課時(shí)，其中第一課時(shí)講圓的軸對(duì)稱性，第二課時(shí)講圓的旋轉(zhuǎn)不變性。

　　結(jié)合我對(duì)教材的理解和我所任教班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況，我將圓的軸對(duì)稱性一課時(shí)內(nèi)容調(diào)整為兩課時(shí)，今天我所講的是第一課時(shí)——垂徑定理及其推論。

　　下面，我就從教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方法與手段、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)等四個(gè)方面進(jìn)行說(shuō)明。

　　一、教學(xué)內(nèi)容的說(shuō)明

　　教師只有對(duì)教材有較為準(zhǔn)確、深刻、本質(zhì)的理解，并從“假如我是學(xué)生”的角度審視學(xué)生的可接受性，才能處理好教材。

　　垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，為進(jìn)行圓的計(jì)算和作圖提供了重要依據(jù)，因此這部分內(nèi)容是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)， 垂徑定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論較為復(fù)雜，容易混淆，因此也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

　　鑒于這種理解，通覽教材，我確定出如下教學(xué)內(nèi)容：

　　(1)了解圓的軸對(duì)稱性。

　　(2) 弄清垂徑定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論。 (3)運(yùn)用垂徑定理及其推論進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明。

　　(4)學(xué)會(huì)與垂徑定理有關(guān)的添加輔助線的方法。

　　教學(xué)重點(diǎn)：垂徑定理及其推論

　　教學(xué)難點(diǎn)：垂徑定理的證明方法，其中圓的軸對(duì)稱性是理解垂徑定理的關(guān)鍵。

　　二、教學(xué)目標(biāo)的確立

　　根據(jù)本課的具體內(nèi)容、學(xué)生的實(shí)際情況，我確立了如下的教學(xué)目標(biāo)：

　　1、通過(guò)直觀演示了解圓的軸對(duì)稱性。

　　2、通過(guò)“試驗(yàn)——觀察——猜想——證明”掌握垂徑定理及其推論。

　　3、運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)的證明、計(jì)算和作圖問題。 4、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺能力、抽象概括能力。激發(fā)學(xué)生的探索精神。

　　三、教學(xué)方法與手段的選擇

　　在教學(xué)方法方面:本節(jié)課主要采用了教師啟發(fā)引導(dǎo)下的學(xué)生自主探究、小組合作學(xué)習(xí)以及分層教學(xué)、分層評(píng)價(jià)的方法。

　　在教學(xué)過(guò)程中，遵循“實(shí)驗(yàn)－觀察－猜想－證明－討論－總結(jié)－應(yīng)用”這一思路，使學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，再到實(shí)際應(yīng)用。遵循“階梯式發(fā)展”原則，引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立分析、認(rèn)真思考的基礎(chǔ)上，以小組討論等形式合作探究，進(jìn)而解決問題、掌握方法。同時(shí)，考慮到不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，在所提問題、例題、習(xí)題的設(shè)置上，均力爭(zhēng)使每名學(xué)生都有所得。

　　在教學(xué)手段方面：我采用教（學(xué)）具直觀演示與計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，以提高課堂教學(xué)效率。

　　四、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)

　　1、堅(jiān)持一條原則：學(xué)生是主體，教師是教學(xué)過(guò)程的組織者、引導(dǎo)者、合作者。

　　2、圍繞一個(gè)目的：落實(shí)教學(xué)目標(biāo)

　　3、突出一個(gè)特點(diǎn)：通過(guò)“實(shí)驗(yàn)－觀察－猜想－證明－應(yīng)用”幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)渡

　　4、采用一種手段：借助教具的直觀性和計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理，從而抽象概括出定理

　　5、收到一個(gè)效果：使學(xué)生通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠理解定理的內(nèi)涵，學(xué)會(huì)運(yùn)用定理解決問題。同時(shí)使學(xué)習(xí)知識(shí)、培養(yǎng)能力和優(yōu)化思維品質(zhì)融為一體。

　　學(xué)法指導(dǎo)：

　　動(dòng)手操作、 觀察猜測(cè)、 交流討論、 分析推理、 歸納總結(jié)，在此過(guò)程中使學(xué)生積極參與，交流互動(dòng)。

　　本課的教學(xué)過(guò)程包括：

　　以舊引新、引導(dǎo)探究——?jiǎng)邮植僮�、觀察猜想——指導(dǎo)論證、引申結(jié)論——多方練習(xí)、分層評(píng)價(jià)——反思小結(jié)、布置作業(yè)五個(gè)環(huán)節(jié)。

　�。ㄒ唬┮耘f引新、引導(dǎo)探究

　　人類認(rèn)識(shí)事物大多遵循由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，由舊知到新知的上升過(guò)程，為此我先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)與本課新知識(shí)有關(guān)的舊知識(shí)，出示如下兩個(gè)問題：

　�。�1）什么是軸對(duì)稱圖形

　�。�2）觀察下列圖形哪些是軸對(duì)稱圖形？并指出對(duì)稱軸條數(shù)。

　　其中第一題的目的在于喚起學(xué)生記憶，明確軸對(duì)稱圖形的概念。進(jìn)而選取幾種常見的幾何圖形讓學(xué)生判斷，其中的平行四邊形是從反面強(qiáng)化對(duì)軸對(duì)稱圖形的理解。 第二組是有關(guān)車標(biāo)圖案的軸對(duì)稱圖形，使學(xué)生知道我們身邊隨時(shí)隨地都有軸對(duì)稱圖形的存在，此時(shí)可讓學(xué)生再舉幾個(gè)實(shí)際例子，以激發(fā)學(xué)生的興趣。

　　然后出示圓，提問：圓是軸對(duì)稱圖形嗎？

　　它有幾條對(duì)稱軸？

　　對(duì)稱軸在什么位置？

　　進(jìn)而通過(guò)學(xué)生折疊圓形紙片、

　　教師投影演示明確：

　　圓是軸對(duì)稱圖形，它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。

　　這樣通過(guò)創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲，以舊引新，引出本課課題——圓的軸對(duì)稱性。

　�。ǘ�）動(dòng)手操作，觀察猜想

　　首先讓學(xué)生按要求在事先準(zhǔn)備好的圓形紙片中畫圖折疊、觀察、猜想。 ⅰ 畫出⊙O的一條弦AB

　　ⅱ 過(guò)O畫AB的垂線交⊙O于C、D兩點(diǎn)，垂足為E.

　　問題1：過(guò)O點(diǎn)垂直AB的直線有幾條？（說(shuō)出理由）

　　設(shè)計(jì)意圖：明確垂直于弦的直線有且只有一條。

　　問題2：直徑CD還有什么性質(zhì)？（投影）

　　1、引導(dǎo)學(xué)生將⊙O紙片沿直徑CD折疊，觀察重合部分，猜想結(jié)論

　　2、小組交流猜想結(jié)論。

　　3、教師投影演示與學(xué)生共享猜想結(jié)論

　　設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官功能，使學(xué)生在動(dòng)手動(dòng)腦中強(qiáng)化思維品質(zhì)。同時(shí)為用“疊合法”證明垂徑定理起鋪路搭橋的作用。

　�。ㄈ�）指導(dǎo)論證，引申結(jié)論

　　在師生共同得出猜想結(jié)論后，教師追問質(zhì)疑：猜想的結(jié)果是否正確，必須要加以證明，將學(xué)生的活躍思維從實(shí)驗(yàn)猜想拉回到對(duì)猜想的嚴(yán)格證明中。 教學(xué)安排：

　　學(xué)生回答已知、求證后教師投影。

　　隨后指導(dǎo)學(xué)生從圓的軸對(duì)稱性入手，討論出聯(lián)結(jié)OA和OB后，抓住只要能夠證出直徑CD既是等腰三角形OAB的對(duì)稱軸，又是圓的對(duì)稱軸，即可利用圓的軸對(duì)稱性證明出結(jié)論。進(jìn)而讓學(xué)生試述，教師板書證明過(guò)程。

　　進(jìn)而總結(jié)出垂徑定理的內(nèi)容。并引導(dǎo)學(xué)生分析出定理的題設(shè)和結(jié)論。說(shuō)明知道了題設(shè)的兩個(gè)條件，就可以得出三個(gè)結(jié)論。

　　此時(shí)出示判斷題

　　(1)過(guò)圓心的直徑平分弦（×）

　　(2)垂直于弦的直線平分弦（×）

　　(3)⊙O中，OE⊥弦AE于E，則AE=BE（√）】

　　引導(dǎo)小組討論，允許爭(zhēng)論，關(guān)鍵要讓學(xué)生說(shuō)明理由，舉反例。交流討論、統(tǒng)一思想后，教師要充分利用評(píng)價(jià)機(jī)制鼓勵(lì)學(xué)生，并強(qiáng)調(diào)垂徑定理 圓的軸對(duì)稱性——垂徑定理及其推論題設(shè)中的兩個(gè)條件缺一不可。同時(shí)說(shuō)明垂徑定理?xiàng)l件中的“直徑”是指過(guò)圓心的直線，但在應(yīng)用該條件時(shí)可以不為直徑，如半徑、圓心到弦的距離照樣可以得到平分弦的結(jié)論。

　　然后再次通過(guò)提問：如果將題設(shè)中的兩個(gè)條件改為“直徑平分弦”，能否得出其它三個(gè)結(jié)論呢？自然的引出對(duì)例1的教學(xué)：

　　【例1：已知:如圖，在⊙O中，直徑CD交弦AB于E，AE=BE

　　求證：CD⊥AB, 】

　　通過(guò)教師引導(dǎo)、小組討論分析證明出垂徑定理的推論：平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦，且平分弦所對(duì)的兩條弧。使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到將定理中題設(shè)的兩個(gè)條件之一與三個(gè)結(jié)論之一交換一個(gè)，也可得出其它三個(gè)結(jié)論。然后再次出示小組討論題，

　　【小組討論：下列命題是否正確？說(shuō)明理由

　　1、弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，且平分弦所對(duì)的兩條弧。(√)

　　2、平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，且平分弦所對(duì)的另一條弧(√)】

　　進(jìn)一步強(qiáng)化剛才的初步認(rèn)識(shí)，進(jìn)而歸納總結(jié)出其中規(guī)律：五個(gè)條件，知二推三。在整個(gè)過(guò)程中教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫圖分析、討論，說(shuō)明理由，辨別正誤，從而有效的突破難點(diǎn)，突出重點(diǎn)。

　　O

　�。ㄋ模┒喾骄毩�(xí)，分層評(píng)價(jià)

　　【例2、已知：如圖在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)是8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。】

　　1、選題意圖

　　至此，學(xué)生們對(duì)垂徑定理及其推論的基本知識(shí)應(yīng)該掌握了，為了使學(xué)生再上一個(gè)臺(tái)階，更好的將知識(shí)點(diǎn)落到實(shí)處。我安排了例2，試圖通過(guò)此例，使學(xué)生明確：在解決有關(guān)弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等問題時(shí)，通常是將垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來(lái)。達(dá)到一通百通的目的。并為例3的教學(xué)鋪平道路。

　　2、教學(xué)安排

　�、� 解決問題：此題先提醒學(xué)生審清題意，思考如何構(gòu)造出圓的半徑及圓心O到弦AB的距離。在個(gè)人獨(dú)立思考建立圖形以后，進(jìn)行小組交流、討論。最后各組派代表展示學(xué)習(xí)成果并說(shuō)明理由，教師點(diǎn)撥，最后投影出完整解題步驟。 ⅱ 反思拓展：提問：在解答此題的過(guò)程中，你用到了幾個(gè)定理？

　　通過(guò)討論，使學(xué)生體會(huì)到：在解決有關(guān)弦、半徑（直徑）、圓心到弦的距離等問題時(shí)，通常是通過(guò)構(gòu)造直角三角形將垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來(lái)。

　　然后，趁熱打鐵，通過(guò)三個(gè)難度不同的練習(xí)，進(jìn)一步鞏固剛才討論得出的成果。

　　【 A組 在圓中某弦長(zhǎng)為8cm，圓的.直徑是10cm，則圓心到弦的距離是( 3 )cm B組 在圓O中弦CD＝24，圓心到弦CD的距離為5,則圓O的直徑是( 26 ) C組 若AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB于E，AE＝16，BE=4,則CD＝( 16 )】 ⅲ 分層評(píng)價(jià)：學(xué)生的認(rèn)知水平是不同的，所以我有意識(shí)的將題目按由易到難的順序分成了A、B、C三組，其中A組題是為學(xué)困生編寫的；B組題絕大多數(shù)同學(xué)應(yīng)該掌握；C組題難度稍大，但稍微動(dòng)一動(dòng)腦，也不是不能做出的，是為中上等同學(xué)準(zhǔn)備的。

　　需要說(shuō)明的是：學(xué)生每做對(duì)一組題就可獲得一個(gè)滿分，教師此時(shí)巡視指導(dǎo)并及時(shí)評(píng)判各組當(dāng)中做完的同學(xué)，而且不管是誰(shuí)只要做對(duì)了題，都可以為本組同學(xué)判題打分。這樣安排，使不同層次的學(xué)生都學(xué)有所得，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

　　然后各組請(qǐng)代表說(shuō)明解題思路。熱身之后，出示例3：

　　【例3、已知⊙O的直徑為4cm，弦AB=，求∠OAB的度數(shù)】

　　1、選題意圖：在鞏固例2成果基礎(chǔ)之上，出示例3，是為了將解直角三角形與垂徑定理的知識(shí)銜接起來(lái)，使知識(shí)之間融匯貫通——你中有我，我中有你。

　　2、教學(xué)安排：

　�、� 解決問題：提問：求角度問題，可否通過(guò)解直角三角形的問題解決？ 學(xué)生自然會(huì)聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而作出正確的輔助線。然后利用特殊角的三角函數(shù)值求出銳角的度數(shù)。學(xué)生展示成果后，教師出示完整解題格式，并追問：還有沒有其它的解題方法？此時(shí) 圓的軸對(duì)稱性可能有的學(xué)生通過(guò)得出弦心距的長(zhǎng)度，利用在直角三角形中，若一條直角邊等于斜邊一半，則該直角邊所對(duì)角為30°，亦可。教師要給予充分的肯定和鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)。然后再通過(guò)一道證明題，

　　【練習(xí)：已知如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)。 求證：AC=BD 】

　　再一次的鞏固垂徑定理及輔助線的做法。

　�、� 反思拓展：在圓中，解有關(guān)弦的問題時(shí)，常常需要作出“垂直于弦的直徑”作為輔助線，實(shí)際上，往往只需從圓心作弦的垂線段。

　　（五）反思小結(jié)、布置作業(yè)

　　這個(gè)環(huán)節(jié)主要讓學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲和體會(huì)。我根據(jù)情況適當(dāng)補(bǔ)充。然后仍按照學(xué)生層次布置分層作業(yè)。這樣最大限度的調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使不同層次的學(xué)生都有所獲，在原有的基礎(chǔ)上得以發(fā)展、提高。

　　以上是我對(duì)本節(jié)課的說(shuō)明，不妥之處，敬請(qǐng)專家、評(píng)委指正。謝謝大家！

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