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數(shù)學(xué)有理數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)
總結(jié)是指對某一階段的工作、學(xué)習(xí)或思想中的經(jīng)驗(yàn)或情況加以總結(jié)和概括的書面材料,它是增長才干的一種好辦法,讓我們一起認(rèn)真地寫一份總結(jié)吧。那么你知道總結(jié)如何寫嗎?下面是小編整理的數(shù)學(xué)有理數(shù)知識點(diǎn)總結(jié),僅供參考,歡迎大家閱讀。
數(shù)學(xué)有理數(shù)知識點(diǎn)總結(jié) 1
1.有理數(shù):
(1)凡能寫成形式的數(shù),都是有理數(shù).正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù);正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù);整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).注意:0即不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù);-a不一定是負(fù)數(shù),+a也不一定是正數(shù);不是有理數(shù);
(2)有理數(shù)的分類:①②
2.數(shù)軸:
數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的一條直線.
3.相反數(shù):
(1)只有符號不同的兩個(gè)數(shù),我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù);0的相反數(shù)還是0;
(2)相反數(shù)的和為0a+b=0a、b互為相反數(shù).
4.絕對值:
(1)正數(shù)的絕對值是其本身,0的絕對值是0,負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);注意:絕對值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離;
(2)絕對值可表示為:或;絕對值的問題經(jīng)常分類討論;
5.有理數(shù)比大小:
(1)正數(shù)的絕對值越大,這個(gè)數(shù)越大;
(2)正數(shù)永遠(yuǎn)比0大,負(fù)數(shù)永遠(yuǎn)比0小;
(3)正數(shù)大于一切負(fù)數(shù);
(4)兩個(gè)負(fù)數(shù)比大小,絕對值大的反而小;
(5)數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;
(6)大數(shù)-小數(shù)0,小數(shù)-大數(shù)0.
6.互為倒數(shù):
乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù);注意:0沒有倒數(shù);若a0,那么的倒數(shù)是;若ab=1a、b互為倒數(shù);若ab=-1a、b互為負(fù)倒數(shù).
7.有理數(shù)加法法則:
(1)同號兩數(shù)相加,取相同的符號,并把絕對值相加;
(2)異號兩數(shù)相加,取絕對值較大的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值;
(3)一個(gè)數(shù)與0相加,仍得這個(gè)數(shù).
8.有理數(shù)加法的運(yùn)算律:
(1)加法的交換律:a+b=b+a;
(2)加法的結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c).
9.有理數(shù)減法法則:
減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù);即a-b=a+(-b).
10.有理數(shù)乘法法則:
(1)兩數(shù)相乘,同號為正,異號為負(fù),并把絕對值相乘;
(2)任何數(shù)同零相乘都得零;
(3)幾個(gè)數(shù)相乘,有一個(gè)因式為零,積為零;各個(gè)因式都不為零,積的符號由負(fù)因式的'個(gè)數(shù)決定.
11.有理數(shù)乘法的運(yùn)算律:
(1)乘法的交換律:ab=ba;
(2)乘法的結(jié)合律:(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac.
12.有理數(shù)除法法則:
除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù);注意:零不能做除數(shù),.
13.有理數(shù)乘方的法則:
(1)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù);
(2)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù);負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù);注意:當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí):(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí):(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.
14.乘方的定義:
(1)求相同因式積的運(yùn)算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底數(shù),相同因式的個(gè)數(shù)叫做指數(shù),乘方的結(jié)果叫做冪;
15.科學(xué)記數(shù)法:
把一個(gè)大于10的數(shù)記成a10n的形式,其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù),這種記數(shù)法叫科學(xué)記數(shù)法.
16.近似數(shù)的精確位:
一個(gè)近似數(shù),四舍五入到那一位,就說這個(gè)近似數(shù)的精確到那一位.
17.有效數(shù)字:
從左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起,到精確的位數(shù)止,所有數(shù)字,都叫這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字.
18.混合運(yùn)算法則:
先乘方,后乘除,最后加減.
數(shù)學(xué)有理數(shù)知識點(diǎn)總結(jié) 2
(1)凡能寫成形式的數(shù),都是有理數(shù),整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).
注意:0即不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù);-a不一定是負(fù)數(shù),+a也不一定是正數(shù);不是有理數(shù);
(2)有理數(shù)的分類:①②
(3)注意:有理數(shù)中,1、0、-1是三個(gè)特殊的數(shù),它們有自己的特性;這三個(gè)數(shù)把數(shù)軸上的`數(shù)分成四個(gè)區(qū)域,這四個(gè)區(qū)域的數(shù)也有自己的特性;
(4)自然數(shù)0和正整數(shù);a>0a是正數(shù);a<0a是負(fù)數(shù);
a≥0a是正數(shù)或0a是非負(fù)數(shù);a≤0a是負(fù)數(shù)或0a是非正數(shù).
數(shù)學(xué)有理數(shù)知識點(diǎn)總結(jié) 3
1.1 正數(shù)與負(fù)數(shù)
在以前學(xué)過的0以外的數(shù)前面加上負(fù)號“—”的數(shù)叫負(fù)數(shù)(negative number)。
與負(fù)數(shù)具有相反意義,即以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)(positive number)(根據(jù)需要,有時(shí)在正數(shù)前面也加上“+”)。
1.2 有理數(shù)
正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)(integer),正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)(fraction)。
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)(rational number)。
通常用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù),這條直線叫數(shù)軸(number axis)。
數(shù)軸三要素:原點(diǎn)、正方向、單位長度。
在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0,這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn)(origin)。
只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)(opposite number)。(例:2的相反數(shù)是-2;0的相反數(shù)是0)
數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值(absolute value),記作|a|。
一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的'絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0。兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對值大的反而小。
數(shù)學(xué)有理數(shù)知識點(diǎn)總結(jié) 4
有理數(shù):
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。
注:
(1)有時(shí)為了研究的需要,整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù),這時(shí)的分?jǐn)?shù)包括整數(shù)。但是本講中的分?jǐn)?shù)不包括分母是1的分?jǐn)?shù)。
(2)因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以互化,上述小數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來表示,所以我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分?jǐn)?shù)。
(3)“0”即不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù),但“0”是整數(shù)。
整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。例如:1、2、3、0、-1、-2、-3等等。
分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù),例如:1/2、0.6、-1/2、-0.6等等。
有理數(shù)的分類
(1)按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類:
(2)按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類:
注:通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù),正整數(shù)和0稱為非負(fù)整數(shù)(也叫做自然數(shù)),負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為非正整數(shù)。
如果用字母表示數(shù),則a>0表明a是正數(shù);a<0表明a是負(fù)數(shù);a≥0表明a是非負(fù)數(shù);a≤0表明a是非正數(shù)。
數(shù)軸
數(shù)軸是理解有理數(shù)概念與運(yùn)算的重要工具,數(shù)與表示數(shù)的圖形(如數(shù)軸)相結(jié)合的思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想。正如華羅庚教授詩云:
數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺,形少數(shù)是難入微。數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事非。切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠(yuǎn)聯(lián)系,切莫分離!
數(shù)與形的第一次聯(lián)姻——數(shù)軸,使數(shù)與直線上的點(diǎn)之間建立了對應(yīng)關(guān)系,揭示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系,并由此成為數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。
1.數(shù)軸的定義:規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。
數(shù)軸的定義包含三層含義:
(1)數(shù)軸是一條直線,可以向兩端無限延伸;
(2)數(shù)軸有三要素——原點(diǎn)、正方向、單位長度,三者缺一不可;
(3)原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定,都是根據(jù)實(shí)際需要“規(guī)定”的'(通常取向右為正方向)。
2.數(shù)軸的畫法:
(1)畫一條直線(一般畫成水平的直線)。
(2)在直線上選取一點(diǎn)為原點(diǎn),并用這點(diǎn)表示零(在原點(diǎn)下面標(biāo)上“0”)。
(3)確定正方向(一般規(guī)定向右為正),用箭頭表示出來。
(4)選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度,從原點(diǎn)向右,每隔一個(gè)單位長度取一點(diǎn),依次表示為1,2,3……;從原點(diǎn)向左,每隔一個(gè)單位長度取一點(diǎn),依次表示為-1,-2,-3……
注:
(1)原點(diǎn)的位置、單位長度的大小可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)選。
(2)確定單位長度時(shí),根據(jù)實(shí)際情況,有時(shí)也可以每隔兩個(gè)(或更多的)單位長度取一點(diǎn),從原點(diǎn)向右,依次表示為2,4,6,……;從原點(diǎn)向左,依次表示為-2,-4,-6,……;
3.數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系:所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示。正有理數(shù)可以用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示,負(fù)有理數(shù)可以用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示,零用原點(diǎn)表示。
4.利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小:在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于0;負(fù)數(shù)都小于0;正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。
相反數(shù)
1.相反數(shù)的定義:
(1)相反數(shù)的幾何定義:在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩旁,到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù),叫做互為相反數(shù)。如,4與-4互為相反數(shù)。
(2)相反數(shù)的代數(shù)定義:只有符號不同的兩個(gè)數(shù)(除了符號不同以外完全相同),我們說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)。
2.相反數(shù)的性質(zhì):任何一個(gè)數(shù)都有相反數(shù),而且只有一個(gè)。正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù),0的相反數(shù)是0。0是唯一一個(gè)相反數(shù)等于本身的數(shù)。反之,如果a=-a,那么a一定是0。
3.相反數(shù)的特征:若a與b互為相反數(shù),則a+b=0(或a=-b)若a+b=0(或a=-b),則a與b互為相反數(shù)。
4.求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法:(見書)
5.多重符號的化簡:
(1)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“+”號,仍然與原數(shù)相同,如+5=5,+(-5)=-5。
(2)在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“-”號,就成為原數(shù)的相反數(shù)。如-(-3)就是-3的相反數(shù),因此,-(-3)=3。
絕對值的概念
1.絕對值的幾何定義:一個(gè)數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,數(shù)a的絕對值記作“丨a丨”
2.絕對值的代數(shù)定義:一個(gè)正數(shù)的絕對值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0。
有理數(shù)大小的比較
正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù),兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對值大的反而小。
利用數(shù)軸,在數(shù)軸右邊的數(shù)永遠(yuǎn)大于左邊的數(shù)。
數(shù)學(xué)有理數(shù)知識點(diǎn)總結(jié) 5
1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)
以前學(xué)過的0以外的數(shù)前面加上負(fù)號“-”的書叫做負(fù)數(shù)。
以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)。
數(shù)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界。
在同一個(gè)問題中,分別用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示的`量具有相反的意義
1.2有理數(shù)
1.2.1有理數(shù)
正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù),正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。
1.2.2數(shù)軸
規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。
數(shù)軸的作用:所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表達(dá)。
注意事項(xiàng):⑴數(shù)軸的原點(diǎn)、正方向、單位長度三要素,缺一不可。
、仆桓鶖(shù)軸,單位長度不能改變。
一般地,設(shè)是一個(gè)正數(shù),則數(shù)軸上表示a的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊,與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長度;表示數(shù)-a的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊,與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長度。
1.2.3相反數(shù)
只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。
數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱。
在任意一個(gè)數(shù)前面添上“-”號,新的數(shù)就表示原數(shù)的相反數(shù)。
1.2.4絕對值
一般地,數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值。
一個(gè)正數(shù)的絕對值是它的本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0。
數(shù)學(xué)有理數(shù)知識點(diǎn)總結(jié) 6
有理數(shù):
、僬麛(shù)→正整數(shù)/0/負(fù)整數(shù)
、诜?jǐn)?shù)→正分?jǐn)?shù)/負(fù)分?jǐn)?shù)
數(shù)軸:
、佼嬕粭l水平直線,在直線上取一點(diǎn)表示0(原點(diǎn)),選取某一長度作為單位長度,規(guī)定直線上向右的方向?yàn)檎较,就得到?shù)軸。
、谌魏我粋(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示。
、廴绻麅蓚(gè)數(shù)只有符號不同,那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另外一個(gè)數(shù)的相反數(shù),也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。在數(shù)軸上,表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn),位于原點(diǎn)的兩側(cè),并且與原點(diǎn)距離相等。
、軘(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù),右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)。
絕對值:
、僭跀(shù)軸上,一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對值。
②正數(shù)的絕對值是他的本身、負(fù)數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)、0的絕對值是0。兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小,絕對值大的反而小。
有理數(shù)的運(yùn)算:
加法:
①同號相加,取相同的'符號,把絕對值相加。
、诋愄栂嗉,絕對值相等時(shí)和為0;絕對值不等時(shí),取絕對值較大的數(shù)的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值。
、垡粋(gè)數(shù)與0相加不變。
減法:減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。
乘法:
①兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負(fù),絕對值相乘。
、谌魏螖(shù)與0相乘得0。
、鄢朔e為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。
除法:
①除以一個(gè)數(shù)等于乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
②0不能作除數(shù)。
乘方:求N個(gè)相同因數(shù)A的積的運(yùn)算叫做乘方,乘方的結(jié)果叫冪,A叫底數(shù),N叫次數(shù)。
混合順序:先算乘法,再算乘除,最后算加減,有括號要先算括號里的。
通過上面對數(shù)學(xué)中關(guān)于有理數(shù)的知識點(diǎn)內(nèi)容講解學(xué)習(xí),相信可以很好的幫助同學(xué)們對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)吧,同學(xué)們努力學(xué)習(xí)哦!
數(shù)學(xué)有理數(shù)知識點(diǎn)總結(jié) 7
一、正數(shù)和負(fù)數(shù)
正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念
負(fù)數(shù):比0小的數(shù);正數(shù):比0大的數(shù)。
0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù)
注意:字母a可以表示任意數(shù),當(dāng)a表示正數(shù)時(shí),-a是負(fù)數(shù);當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí),-a是正數(shù);當(dāng)a表示0時(shí),-a仍是0。強(qiáng)調(diào):帶正號的數(shù)不一定是正數(shù),帶負(fù)號的數(shù)不一定是負(fù)數(shù)。
具有相反意義的量
若正數(shù)表示某種意義的量,則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量。習(xí)慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正,“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù).
二、有理數(shù)
有理數(shù)的概念
(1)正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)(0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù))
(2)正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)
(3)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)
注意:
①π是無限不循環(huán)小數(shù),不能寫成分?jǐn)?shù)形式,不是有理數(shù)。
、谟邢扌(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù),都是有理數(shù)。
數(shù)軸
(1)數(shù)軸的概念:規(guī)定了原點(diǎn),正方向,單位長度的直線叫做數(shù)軸。
注意:數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線;
原點(diǎn)、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素,三者缺一不可;
數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的,同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一;
(2)數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系
所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的點(diǎn)來表示,正有理數(shù)可用原點(diǎn)正方向的點(diǎn)表示,負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)負(fù)方向的點(diǎn)表示,0用原點(diǎn)表示。
相反數(shù)
(1)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù);0的相反數(shù)是0;任何一個(gè)有理數(shù)都有相反數(shù)
(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)的和為0,即:若a、b互為相反數(shù),則a+b=0;互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上分別位于原點(diǎn)兩側(cè),并且與原點(diǎn)的距離相等。
(3)在一個(gè)數(shù)的前面加上負(fù)號“-”,就得到了這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。a的相反數(shù)是-a。
(4)多重符號的化簡
多重符號的化簡規(guī)律:“+”號的個(gè)數(shù)不影響化簡的結(jié)果,可以直接省略;“-”號的個(gè)數(shù)決定最后化簡結(jié)果;即:“-”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí),結(jié)果為負(fù),“-”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí),結(jié)果為正。
絕對值
(1)絕對值的幾何定義:數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,叫做a的絕對值,記作:|a|
(2)求絕對值:正數(shù)的絕對值是它本身,0的絕對值是0,負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);可用字母表示為:
、偃绻鸻>0,那么|a|=a;
、谌绻鸻<0,那么|a|=-a;
③如果a=0,那么|a|=0。
可歸納為
①:a≥0時(shí),|a|=a(非負(fù)數(shù)的絕對值等于本身;絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。)
、赼≤0時(shí),|a|=-a(非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù);絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。)
(3)若幾個(gè)數(shù)的絕對值的和等于0,則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為0。即|a|+|b|=0,則a=0且b=0。(非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì):若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0)
有理數(shù)比大小
(1)利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小
在以向右為正方向的數(shù)軸上數(shù)的大小比較,右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;
正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù);
(2)數(shù)軸上特殊的最大(小)數(shù)
最小的自然數(shù)是0,無最大的自然數(shù);
最小的正整數(shù)是1,無最大的正整數(shù);
最大的負(fù)整數(shù)是-1,無最小的負(fù)整數(shù)
(3)利用絕對值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大。簝蓚(gè)負(fù)數(shù)比較大小,絕對值大的反而小;
(4)大數(shù)-小數(shù)>0,小數(shù)-大數(shù)<0。
三、有理數(shù)的加、減法運(yùn)算
有理數(shù)加法
(1)同號兩數(shù)相加,取相同符號,并且把絕對值相加
(2)異號兩數(shù)相加,取絕對值大的數(shù)的符號,并且用較大的絕對值減去較小的絕對值
(3)互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0
加法交換律:兩個(gè)有理數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,和不變,a+b=b+a
加法結(jié)合律:三個(gè)有理數(shù)相加,先把前兩個(gè)數(shù)相加,再把結(jié)果與第三個(gè)數(shù)相加;或者先把后兩個(gè)數(shù)相加,再把結(jié)果與第一個(gè)數(shù)相加,和不變,(a+b)+c=a+(b+c)
(1)同號結(jié)合相加(正數(shù)+正數(shù)、負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù))
(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)結(jié)合相加(把相加結(jié)果為零的數(shù)結(jié)合相加)
(3)幾個(gè)分?jǐn)?shù)相加,將同分母的先結(jié)合相加
(4)將求和后為整數(shù)的數(shù)先結(jié)合相加
(5)幾個(gè)帶分?jǐn)?shù)相加,可將整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分分別結(jié)合相加
在一個(gè)求和的式子中,通?梢园选+”省略不寫,同時(shí)去掉加數(shù)的括號
有理數(shù)的減法
根據(jù)相反數(shù)的定義,減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù),有理數(shù)的減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行計(jì)算。引入相反數(shù)的`之后,有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為加法運(yùn)算。
四、有理數(shù)的乘、除法運(yùn)算
有理數(shù)乘法
(1)異號兩數(shù)相乘得負(fù)數(shù),并把絕對值相乘;同號兩數(shù)相乘得正數(shù),并把絕對值相乘。
(2)任何數(shù)與0相乘都得0
有理數(shù)的乘法運(yùn)算定律
乘法交換律:兩個(gè)有理數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,它們的積不變。a×b=b×a
乘法結(jié)合律:三個(gè)數(shù)相乘,先把前兩個(gè)數(shù)相乘,再和另外一個(gè)數(shù)相乘,或先把后兩個(gè)數(shù)相乘,再和另外一個(gè)數(shù)相乘,積不變。a×b×c=a×(b×c)
乘法分配律:兩個(gè)數(shù)的和(差)同一個(gè)數(shù)相乘,可以先把兩個(gè)加數(shù)(減數(shù))分別同這個(gè)數(shù)相乘,再把兩個(gè)積相加(減),積不變。a×(b+c)=a×b+a×c
倒數(shù)
(1)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù);注意:0沒有倒數(shù);
(2)若a,b互為倒數(shù),則ab=1;
(3)求倒數(shù):求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)就是用1去除以這個(gè)數(shù)。
①求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù),只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置即可;
②求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí),先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù),再把分子、分母顛倒位置;
、壅龜(shù)的倒數(shù)是正數(shù),負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一個(gè)數(shù)的倒數(shù),不改變這個(gè)數(shù)的性質(zhì));
、艿箶(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1;
有理數(shù)除法
(1)除以一個(gè)不等0的數(shù),等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
(2)兩數(shù)相除,同號得正,異號得負(fù),并把絕對值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù),都得0
有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算
(1)乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法,然后確定積的符號,最后求出結(jié)果。
(2)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算,如果有括號先計(jì)算括號里的,如果無括則按照‘先乘除,后加減’的順序進(jìn)行,同級運(yùn)算中,按前后順序從左到右依次運(yùn)算,誰在前先算誰。
五、有理數(shù)乘方
乘方的概念:求n個(gè)相同因數(shù)的乘積的運(yùn)算,叫做乘方,乘方的結(jié)果叫做冪。乘方中,相同的因式叫做底數(shù),相同因式的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)。
記作:an,在an中,a叫做底數(shù),n叫做指數(shù),an叫做冪
乘方的性質(zhì)
(1)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)。
(2)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù),0的任何正整數(shù)次冪都是0。
(3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的奇數(shù)次冪仍互為相反數(shù),偶數(shù)次冪相等。
(4)任何一個(gè)數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負(fù)數(shù)。
有理數(shù)的混合運(yùn)算
做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí),應(yīng)注意以下運(yùn)算順序:
(1)先乘方,再乘除,最后加減;
(2)同級運(yùn)算中,按前后順序從左到右依次運(yùn)算,誰在前先算誰。
(3)如有括號,先做括號內(nèi)的運(yùn)算,按小括號,中括號,大括號依次進(jìn)行。
科學(xué)記數(shù)法
把一個(gè)絕對值大于10的數(shù)記成a×10n的形式,其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)(即1≤|a|<10,n是正整數(shù)),這種記數(shù)法叫科學(xué)記數(shù)法。
方法:
、賏的確定:把原數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng),使它的整數(shù)位數(shù)為1,數(shù)的正負(fù)號保持不變;
、趎=原數(shù)的整數(shù)數(shù)位-1。
數(shù)學(xué)有理數(shù)知識點(diǎn)總結(jié) 8
有理數(shù)乘法法則:
兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負(fù),并把絕對值相乘。
任何數(shù)同0相乘,都得0。
乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。
幾個(gè)不是0的數(shù)相乘,負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí),積是正數(shù);負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí),積是負(fù)數(shù)。
兩個(gè)數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,積相等。
ab=ba
三個(gè)數(shù)相乘,先把前兩個(gè)數(shù)相乘,或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘,積相等。
。╝b)c=a(bc)
一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的'和相乘,等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘,再把積相加。
a(b+c)=ab+ac
數(shù)字與字母相乘的書寫規(guī)范:
、艛(shù)字與字母相乘,乘號要省略,或用
、茢(shù)字與字母相乘,當(dāng)系數(shù)是1或—1時(shí),1要省略不寫。
、菐Х?jǐn)?shù)與字母相乘,帶分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)化成假分?jǐn)?shù)。
用字母x表示任意一個(gè)有理數(shù),2與x的乘積記為2x,3與x的乘積記為3x,則式子2x+3x是2x與3x的和,2x與3x叫做這個(gè)式子的項(xiàng),2和3分別是著兩項(xiàng)的系數(shù)。
一般地,合并含有相同字母因數(shù)的式子時(shí),只需將它們的系數(shù)合并,所得結(jié)果作為系數(shù),再乘字母因數(shù),即
ax+bx=(a+b)x
上式中x是字母因數(shù),a與b分別是ax與bx這兩項(xiàng)的系數(shù)。
去括號法則:
括號前是+,把括號和括號前的+去掉,括號里各項(xiàng)都不改變符號。
括號前是—,把括號和括號前的—去掉,括號里各項(xiàng)都改變符號。
括號外的因數(shù)是正數(shù),去括號后式子各項(xiàng)的符號與原括號內(nèi)式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號相同;括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù),去括號后式子各項(xiàng)的符號與原括號內(nèi)式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號相反。
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