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計(jì)算行列式的方法總結(jié)
行列式涉及的方面很多，例如判斷矩陣可逆與否要計(jì)算行列式的值、解線性方程組、特征值等都與求行列式密不可分，所以各種類型解行列式的方法一定要掌握好，才能寫好行列式，下面是計(jì)算行列式的方法總結(jié)，一起來(lái)看看吧！
計(jì)算行列式的方法總結(jié)
(一)首先，行列式的性質(zhì)要熟練掌握
性質(zhì)1行列互換，行列式的值不變。
性質(zhì)2交換行列式的兩行(列)，行列式的值變號(hào)。
推論若行列式中有兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式的值為零。
性質(zhì)3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，則k可提到行列式外。
推論1數(shù)k乘行列式，等于用數(shù)k乘該行列式的某一行(列)。
推論2若行列式有兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例，則該行列式的值為零。
性質(zhì)4若行列式中某行(列)的每一個(gè)元素均為兩數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式分別以這兩組數(shù)作為該行(列)的元素，其余各行(列)與原行列式相同。
性質(zhì)5將行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不變。
行列式展開(kāi)法：行列式按某行(列)展開(kāi)也是解行列式常用的方法。
行列式展開(kāi)定理：
定理1：n階行列式D等于它的任一行(列)的各元素與各自的代數(shù)余子式乘積之和。
定理2：行列式D的某一行(列)各元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和必為零。
(二)幾種特殊行列式的值
有關(guān)行列式的若干個(gè)重要公式：
為便于考生綜合復(fù)習(xí)及掌握概念間的聯(lián)系，現(xiàn)將以后各章所涉及的有關(guān)行列式的幾個(gè)重要公式羅列于下：
2017考研數(shù)學(xué)：行列式的計(jì)算
行列式是線性代數(shù)的一部分，題目比較靈活，下面小編為同學(xué)們簡(jiǎn)單講一下行列式的幾種計(jì)算方法，希望同學(xué)們可以有所啟發(fā)，弄清楚這種類型題。
對(duì)于數(shù)值型行列式來(lái)說(shuō)，我們先看低階行列式的計(jì)算，對(duì)于二階或者三階行列式其是有自己的計(jì)算公式的，我們可以直接計(jì)算。三階以上的行列式，一般可以運(yùn)用行列式按行或者按列展開(kāi)定理展開(kāi)為低階行列式再進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于較復(fù)雜的三階行列式也可以考慮先進(jìn)行展開(kāi)。在運(yùn)用展開(kāi)定理時(shí)，一般需要先利用行列式的性質(zhì)將行列式化為某行或者某列只有一個(gè)非零元的形式，再進(jìn)行展開(kāi)。特殊低階行列式可以直接利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行求解。
對(duì)于高階行列式的計(jì)算，我們的基本思路有兩個(gè)：
一是利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行三角化，也就是將行列式化為上三角或者下三角行列式來(lái)計(jì)算;
二是運(yùn)用按行或者按列直接展開(kāi)，其中運(yùn)用展開(kāi)定理的行列式一般要求有某行或者某列僅有一個(gè)或者兩個(gè)非零元，如果展開(kāi)之后仍然沒(méi)有降低計(jì)算難度，則可以觀察是否能得到遞推公式，再進(jìn)行計(jì)算。其中在高階行列式中我是用加邊法把其最終化為上(下)三角，或者就直接按行或者列直接展開(kāi)了，展開(kāi)后有的時(shí)候就直接是上或者下三角形行列式了，但有時(shí)其還不是上下三階，可能就要用到遞推的類型來(lái)處理此類題目了�？傊覀儗�(duì)于高階行列式要求不是很高，只要掌握幾種常見(jiàn)的情形的計(jì)算方法就可以了。
有的時(shí)候，對(duì)于那些比較特殊的形式，比如范德蒙行列式的類型，我們就直接把它湊成此類行列式，然后利用范德蒙行列式的計(jì)算公式就可以了，但是，我們一定要把范德蒙行列式的形式，一階其計(jì)算方法給它掌握住，我們?cè)谏险n時(shí)也給同學(xué)們講解了其記憶的方面，希望同學(xué)們課下多多做些練習(xí)題進(jìn)行鞏固。
當(dāng)然對(duì)于行列式我們有時(shí)可能還會(huì)用到克萊默法則和拉普拉斯展開(kāi)來(lái)計(jì)算，只是這些都是些特殊的行列式的計(jì)算，其有一定的局限性，比如1995年數(shù)三就考到了一題用克萊默法則來(lái)處理的填空題。
對(duì)于抽象型行列式來(lái)說(shuō)，其計(jì)算方法就有可能是與后面的知識(shí)相結(jié)合來(lái)處理的。關(guān)于抽象型行列式的計(jì)算：
(1)利用行列式的性質(zhì)來(lái)計(jì)算，這里主要是運(yùn)用單行(列)可拆性來(lái)計(jì)算的，這種大多是把行列式用向量來(lái)表示的，然后利用單行或者列可拆性，把它拆開(kāi)成多個(gè)行列式，然后逐個(gè)計(jì)算，這時(shí)一部分行列式可能就會(huì)出現(xiàn)兩行或者列元素相同或者成比例了，這樣簡(jiǎn)化后便可求出題目中要求的行列式。
(2)利用矩陣的性質(zhì)及運(yùn)算來(lái)計(jì)算，這類題，主要是用兩個(gè)矩陣相乘的行列式等于兩個(gè)矩陣分別取行列式相乘，這里當(dāng)然要求必須是方陣才行。這類題目的解題思路就是利用已知條件中的式子化和差為乘積的形式，進(jìn)而兩邊再取行列式，便可得到所求行列式。之前很多年考研中都出現(xiàn)過(guò)此類填空或者選擇題。因此，此類題型同學(xué)們務(wù)必要掌握住其解題思路和方法，多做練習(xí)加以鞏固。
(3)利用單位矩陣的來(lái)求行列式，這類題目難度比前面題型要大，對(duì)矩陣的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論要求比較高。早在1995年數(shù)一的考研試卷中出現(xiàn)過(guò)一題6分的解答題，這題就是要利用A乘以A的轉(zhuǎn)置等于單位矩陣E這個(gè)條件來(lái)代換的，把要求的式子中的單位矩陣換成這個(gè)已知條件來(lái)處理的。
(4)利用矩陣特征值來(lái)求行列式，這類題在考研中出現(xiàn)過(guò)很多次，利用矩陣的特征值與其行列式的關(guān)系來(lái)求行列式，即行列式等于矩陣特征值之積，這種方法要求同學(xué)們一定要掌握住，課下要多做些練習(xí)加以鞏固。
行列式計(jì)算有哪些方法？
�、倩扇切涡辛惺椒ǎ哼@種化成三角形行列式法在用的時(shí)候要求我們將某一個(gè)行或者是列全部的化成1，這樣的話就能方便我們利用行列之間的關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形行列式，從而可以求出來(lái)這個(gè)三角形行列式的值，因?yàn)槲覀兦蟮男辛惺降闹抵g的各個(gè)元素是相等的，各個(gè)元素之外也是相等的，這一點(diǎn)也是需要注意的，在使用的時(shí)候可以直接轉(zhuǎn)化一下，做題就簡(jiǎn)單多了，這種也是一種十分明確的利用行列式的特點(diǎn)來(lái)簡(jiǎn)化行列式的方法。
�、诮惦A法：降階法也是一種利用行列式的特點(diǎn)來(lái)簡(jiǎn)化行列式的方法之一，我們?cè)谑褂玫臅r(shí)候，利用行列式的性質(zhì)將一個(gè)行或者一個(gè)列轉(zhuǎn)化為一個(gè)非零的元素的時(shí)候，然后可以按照相關(guān)的展開(kāi)行或者列，每當(dāng)你展開(kāi)一次，這就說(shuō)明行列式降低了一階，直到無(wú)法展開(kāi)之后就是最簡(jiǎn)單的行列式降階法了，不過(guò)這一點(diǎn)只是適用于一些階層比較低的行列式，針對(duì)于一些比較多階的行列式是不可以使用的。
�、鄄鸪尚辛惺街头ǎ哼@一點(diǎn)不用過(guò)多的描述，其實(shí)意思就是將一個(gè)比較復(fù)雜的行列式拆分成為兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的行列式就可以了，一定在拆分之前看一下是不是滿足拆分條件。
�、芊兜旅尚辛惺剑悍兜旅尚辛惺降挠梅ㄖ饕菍⒁恍┬辛惺降奶攸c(diǎn)找到變形的一些地方，將我們需要求的一個(gè)行列式化成一個(gè)已知的或者是簡(jiǎn)單的形式，而這一種解題方法我們就叫做范德蒙行列式，這也是一種最為常見(jiàn)最為常用到的解題方法。
�、輸�(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法也是比較簡(jiǎn)答，通過(guò)觀察行列式之間的關(guān)系，找到同類型的行列式，就可以使用數(shù)學(xué)歸納法了。
�、弈嫱品ǎ耗嫱品ㄖ饕墙⑵饋�(lái)兩個(gè)行列式之間的一個(gè)遞推關(guān)系式，將整個(gè)式子逐步的推下去，從而可以求出來(lái)一個(gè)具體的值。
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