不定積分的方法總結(jié)
不定積分在高等數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，不管是在教師資格考試還是教師招聘考試中都有出題，另外不定積分的學(xué)習(xí)為以后學(xué)習(xí)定積分計(jì)算打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，所以對(duì)于這方面的內(nèi)容，下面是小編精心收集的不定積分的方法總結(jié)，希望能對(duì)你有所幫助。
不定積分的方法總結(jié)
教學(xué)過(guò)程：
在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，我們不僅要用到求導(dǎo)數(shù)和微分，還要用到與求導(dǎo)數(shù)和微分相反的計(jì)算即積分運(yùn)算.也就是由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求原函數(shù),它是積分學(xué)的基本問(wèn)題之一-----求不定積分.
一、原函數(shù)
�。保�1：已知物體運(yùn)動(dòng)方程s s(t)，則其速度是物體位移s對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù).反過(guò)來(lái),已知物體的速度v是時(shí)間t的.函數(shù)v v(t),求物體的運(yùn)動(dòng)方程s s(t),使它的導(dǎo)數(shù)s (t)等于v v(t),這就是求導(dǎo)函數(shù)的逆運(yùn)算問(wèn)題.引例2:已知某產(chǎn)品的產(chǎn)量P是時(shí)間t的函數(shù)P P(t),則該產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是產(chǎn)量P對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)P (t).反之,若已知某產(chǎn)量的變化率是時(shí)間t的函數(shù)P (t),求該產(chǎn)品產(chǎn)量函數(shù)P(t),也是一個(gè)求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算的問(wèn)題.
2.【定義5.1】（原函數(shù)）設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)．若存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，對(duì) x I均有F (x) f(x)ordF(x) f(x)dx,則稱(chēng)F(x)為f(x)在I上的一個(gè)原函數(shù).
例如：由(sinx) cosx知sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)；又(sinx 5) cosx,(sinx c) cosx（c是常數(shù)），所以sinx 5,sinx c也都是函數(shù)cosx的一個(gè)原函數(shù).
再如：由(2x3) 6x2知2x是6x的一個(gè)原函數(shù)；32
(2x3 c) 6x2，所以2x3 c（c是常數(shù)）也是6x2的一個(gè)原函數(shù)．
注意：沒(méi)有指明區(qū)間時(shí)，應(yīng)默認(rèn)為區(qū)間就是函數(shù)定義域．
二、不定積分
1．原函數(shù)性質(zhì)
觀察上述例子知：函數(shù)的原函數(shù)不唯一，且有性質(zhì)
(1)若f(x) C(I),則f(x)存在I上的原函數(shù)F(x).
(2)若F(x)為f(x)在I上的一個(gè)原函數(shù)，則F(x) C都是f(x)的原函數(shù),其中C為任意常數(shù).
(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù)，則
F(x) G(x) C.
證明： F(x) G(x)
F (x) G (x) f(x) f(x) 0.
C R, s.t.F(x) G(x) C.
(4)設(shè)F(x)為f(x)在I上的原函數(shù),則f(x)在I上全體原函數(shù)為F(x) C（其中C為任意常數(shù)）.2.【定義5.2】函數(shù)f(x)在I上的全體原函數(shù)稱(chēng)為f(x)在I上的不定積分,記作 C R,s.t. f(x)dx.
即若F(x)為f(x)在I上的一個(gè)原函數(shù),則有 f(x)dx F(x) C,C為任意常數(shù).
說(shuō)明：(1) ---積分號(hào)；(2)f(x)---被積函數(shù)；
(3)f(x)dx----被積表達(dá)式.(4)x----積分變量.
3.結(jié)論：
�、龠B續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．
�、趂(x)若有原函數(shù),則有一簇原函數(shù).它們彼此只相差一個(gè)常數(shù).
提問(wèn)：初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是否有原函數(shù)？例：edx,sinxdx， x2 2sinx xdx）
�。ㄒ欢ㄓ性瘮�(shù)，但原函數(shù)不一定還是初等函數(shù).）例1求（1）3xdx；（2）x5dx. 2
解（1）∵(x) 3x，∴32233xdx x C.
x6 x6
55（2） C. x, xdx 6 6
例2求解1 1 x2dx. arctanx 1,21 x
1 1 x2dx arctanx C.
1提問(wèn)： dx arccotx C對(duì)嗎？1 x2
1例3求 dx.x
11解: (lnx) , dx lnx C.xx
例4:某商品邊際成本為100 2x,則總成本函數(shù)為C(x) (100 2x)dx 100x x2 C.
3．導(dǎo)數(shù)與不定積分的關(guān)系
f (x)dx f(x) C.
(1)* df(x) f(x) C.(1)
df(x)dx f(x). dx
(2)*d f(x)dx f(x)dx.(2)
可見(jiàn)：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.
提問(wèn):如何驗(yàn)證積分的結(jié)果是正確的?(積分的導(dǎo)數(shù)是被積函數(shù)時(shí)正確)
二、不定積分的幾何意義
如圖： f(x)dx F(x) C，
函數(shù)f(x)的不定積分表示
斜率為f(x)的原函數(shù)對(duì)應(yīng)的
一簇積分曲線(xiàn).在同一點(diǎn)x0處
積分曲線(xiàn)簇的切線(xiàn)平行.
此曲線(xiàn)蔟可由F(x)沿y軸上下平行移動(dòng)而得到．積分曲線(xiàn)：函數(shù)f(x)原函數(shù)y F(x)的圖形稱(chēng)為f(x)
的積分曲線(xiàn).
不定積分的幾何意義：f(x)的不定積分是一簇積分曲線(xiàn)F(x) C.且在同一點(diǎn)x0處積分曲線(xiàn)簇的切線(xiàn)互相平行.
例5設(shè)曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)P(1,2),且其上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線(xiàn)方程.解設(shè)曲線(xiàn)為y f(x),依題意知
x2dy 2x,dx 2x, 2xdx x2 C,
2于是f(x) x C,
由f(1) 2 C 1,
所求曲線(xiàn)方程為y x 1.
提問(wèn)：如何驗(yàn)證積分的結(jié)果是正確的？（結(jié)果求導(dǎo)必須是被積函數(shù)）
小結(jié)：
�。保瓼(x)為f(x)在I上的原函數(shù),則f(x)在I上全體原函數(shù)F(x) c為f(x)的不定積分，即2
f(x)dx F(x) c
�。玻⒁猱�(dāng)積分號(hào)消失時(shí)常數(shù)ｃ產(chǎn)生．
�。常煊浄e分公式，注意將被積函數(shù)恒等變形后用公式計(jì)算不定積分．
課后記：存在的問(wèn)題不能正確理解幾何意義；計(jì)算錯(cuò)誤較多，找不對(duì)原函數(shù)，寫(xiě)掉積分常數(shù)C.
【提問(wèn)】判斷下列結(jié)論是否正確
�。ú徽_說(shuō)明理由）
(1)3dx 3x C.(2)xdx
(3)
515x C6 C.
(4) 1
x2 1x C.(5) 1
x lnx C.
(6) 5xdx 5xln5 C.
(7) 2exdx ex C.
(8) 2sinxdx cosx C.(9) 1
1 x2dx arctanx c arccotx C.
(10) sec2xdx tanx C.
(11) csc2xdx cotx C.
(12) arcsinx C arccosx C.
(13) secxtanxdx secx C.
(12) cscxcotxdx cscx C.
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