高等數(shù)學(xué)極限求法總結(jié)

　　極限的判斷定義是:單調(diào)遞增有上界則有極限,單調(diào)遞減有下界則有極限。下面是小編整理的高等數(shù)學(xué)極限求法總結(jié)，希望對(duì)你有幫助！

　　函數(shù)極限可以分成而運(yùn)用ε-δ定義更多的見諸于已知的極極限值的證明題中。掌握這類證明對(duì)初學(xué)者深刻理解運(yùn)用極限定義大有裨益。 限為例，f(x) 在點(diǎn)以A為極限的定義是： 對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么小），總存在正數(shù)，使得當(dāng)x滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的f(x)函數(shù)值都滿足不等式：，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng) x→x時(shí)的極限。

　　1.利用極限的四則運(yùn)算法則 ：

　　極限四則運(yùn)算法則的條件是充分而非必要的 ，因此，利用極限四則運(yùn)算法則求函數(shù)極限時(shí)，必須對(duì)所給的函數(shù)逐一進(jìn)行驗(yàn)證它是否滿足極限四則運(yùn)算法則條件 ，滿足條件者。方能利用極限四則運(yùn)算法則進(jìn)行求之。不滿足條件者 ，不能直接利用極限四則運(yùn)算法則求之。但是，井非不滿足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒有極限 ，而是需將函數(shù)進(jìn)行恒等變形 ，使其符合條件后 ，再利用極限四則運(yùn)算法則求之。而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)，通常運(yùn)用一些技巧如拆項(xiàng)、分子分母同時(shí)約去零因子、分子分母有理化、通分、變量替換等等。 例 1

　　求 lim( x 2 3x + 5).

　　x→ 2

　　解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5

　　= (lim x) 2 3 lim x + lim 5

　　= 2 2 3 2 + 5 = 3.

　　x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2

　　2.利用洛必達(dá)法則

　　洛必達(dá)(L Hopital)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.簡單講就是，在求一個(gè)含分式的函數(shù)的極限時(shí)，分別對(duì)分子和分母求導(dǎo)，在求極限，和原函數(shù)的極限是一樣的。一般用在求導(dǎo)后為零比零或無窮比無窮的類型。

　　利用洛必達(dá)求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

　　設(shè)函數(shù)f(x)和F(x)滿足下列條件：

　　（1）x→a時(shí),lim f(x)=0,lim F(x)=0;

　�。�2）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)f(x)與F(x)都可導(dǎo),且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于0;

　�。�3）x→a時(shí),lim(f(x)/F(x))存在或?yàn)闊o窮大

　　則 x→a時(shí),lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))

　　例1：

　　1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2

　　xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)

　　原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x

　　對(duì)分子分母同時(shí)求導(dǎo)（洛必達(dá)法則）

　　(tgx) = 1 / (cosx)^2

　　(x) = 1

　　原式 = lim 1/(cosx)^2

　　當(dāng) x --> 0 時(shí),cosx ---> 1

　　原式 = 1

　　3.利用兩個(gè)重要極限：

　　應(yīng)用第一重要極限時(shí) ，必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：

　�、� 分子、分母為無窮小 ，即極限為 0 ；

　�、� 分子上取正弦 的角必須與分母一樣。

　　應(yīng)用第二重要極限時(shí) ，必須同時(shí)滿足四個(gè)條件：

　　①帶有“1”；

　　② 中間是“+ ”號(hào) ；

　�、邸�+ ”號(hào)后面跟無窮小量 ；

　　④指數(shù)和“+ ”號(hào)后面的數(shù)要互為倒數(shù)。

　　例1：

　　求lim(arcsinx/x),x趨于0

　　解A.令x=sint,則當(dāng)t 趨于0時(shí),x趨于0,且arcsinx=t

　　所以 B.lim(arcsinx/x),x趨于0.=lim(t/sint),t趨于0=1

　　4.利用等價(jià)無窮小代換定理

　　利用此定理求函數(shù)的極限時(shí) ，一般只在以乘除形式出現(xiàn)時(shí)使用。若以和或差形式出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換 ，因?yàn)榻?jīng)此代換后 ，往往會(huì)改變無窮小之比的階數(shù)。要用好等價(jià)無窮小代換定理 ，必須熟記一些常 用的等價(jià)無窮小 。

　　例1

　　lim√(1-cosx)/tanx

　　=lim-√2sin(x/2)/tanx

　　=lim-√2/2x/x

　　=-√2/2

　　lim√(1-cosx)/tanx

　　=lim√2sin(x/2)/tanx

　　=lim√2/2x/x

　　=√2/2

　　因?yàn)閘im√(1-cosx)/tanx≠lim=√(1-cosx)/tanx

　　所以極限不存在

　　5.柯西收斂準(zhǔn)則

　　數(shù)列{Xn}收斂的充分必要條件是對(duì)于任意給定的正數(shù)ε存在著這樣的正整數(shù)N使得當(dāng)m>N,n>N時(shí)就有|Xn-Xm|<ε這個(gè)準(zhǔn)則的幾何意義表示，數(shù)列{Xn}收斂的充分必要條件是：該數(shù)列中足夠靠后的任意兩項(xiàng)都無限接近。

　　例1

　　證明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有極限

　　證：

　　對(duì)于任意的m,n屬于正整數(shù)，m>n

　　|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |

　　當(dāng)m-n為奇數(shù)時(shí) |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |

　　<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m

　　=(1/n-1/m)→0

　　由柯西收斂原理得{xn}收斂

　　當(dāng)m-n為偶數(shù)時(shí) |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |

　　<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m

　　=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0

　　由柯西收斂原理得{xn}收斂

　　綜上{xn}收斂，即{xn}存在極限

　　6.利用函數(shù)連續(xù)性：

　�。ň褪侵苯訉②呄蛑祹С龊瘮�(shù)自變量中，此時(shí)要要求分母不能為0）

　　描述函數(shù)的一種連綿不斷變化的狀態(tài)，即自變量的微小變動(dòng)只會(huì)引起函數(shù)值的微小變動(dòng)的情況。確切說來，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是指：當(dāng)自變量趨于該點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值的極限與函數(shù)在該點(diǎn)所取的值一致。

　　例1

　　設(shè) f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，試求：

　　當(dāng)a，b為何值時(shí)，f（x）在x=0處的極限存在？

　　當(dāng)a，b為何值時(shí)，f（x）在x=0處連續(xù)？

　　注：f（x）=xsin 1/x +a, x< 0

　　b+1, x=0

　　X^2-1, x>0

　　解：f(0)＝b+1

　　左極限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a

　　左極限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1

　　f(x)在x＝0處連續(xù)，則lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，

　　所以a＝-1＝b+1，

　　所以a＝-1，b＝-2

　　7.利用等價(jià)無窮小量代換求極限

　　tanxsinx例 8 求極限lim． x0sinx3

　　解 由于tanxsinxsinx1cosx，而 cosx

　　x2

　　sinx~xx0，1cosx~x0，sinx3~x3x02

　　故有

　　x2

　　xtanxsinx11． limlimx0x0cosxsinx3x32

　　注 在利用等價(jià)無窮小量代換求極限時(shí)，應(yīng)注意只有對(duì)所求極限式中相乘或相除的`因式才能用等價(jià)無窮小量替代，而對(duì)極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代，如在例題中，若因有tanx~xx0，sinx~xx0，而推出

　　limtanxsinxxxlim0， x0x0sinx3sinx3

　　則得到的式錯(cuò)誤的結(jié)果．

　　附 常見等價(jià)無窮小量

　　x2

　　sinx~xx0，tanx~xx0，1cosx~x0， 2

　　arcsinx~xx0，arctanx~xx0，ex1~xx0，

　　ln1x~xx0，1x1~xx0．

　　8 利用洛比達(dá)法則求極限

　　0洛比達(dá)法則一般被用來求型不定式極限及型不定式極限．用此種方法求極限要求在0

　　點(diǎn)x0的空心領(lǐng)域U

　　例1

　　求極限lim0x0內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且作分母的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不為零． 1cosx． xtan2x

　　xx解 由于lim1cosxlimtan2x0，且有

　　1cosxsinx，tan2x2tanxsec2x0，

　　由洛比達(dá)法則可得

　　lim1cosx xtan2x

　　xlisinx 22tanxsexc

　　cos3xlimx21． 2

　　9.利用定義求極限

　　1．fxlimxx0fxfx0， xx0

　　fx0hfx0． h2．fx0limh0

　　其中h是無窮小，可以是xxxx0，x的函數(shù)或其他表達(dá)式．

　　例1

　　求極限x0p0,q0．

　　0 分析 此題是x0時(shí)型未定式，在沒有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念之前，常用的方法是消去分母0

　　中的零因子，針對(duì)本題的特征，對(duì)分母分子同時(shí)進(jìn)行有理化便可求解．但在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義式之后，我們也可直接運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義式來求解．

　　解 令f

　　xg

　　x 則

　　x0fxf0

　　lim x0gxg0x0

　　f0g0p． q

　　10. 利用歸結(jié)原則求極限

　　歸結(jié)原則設(shè)f在U0x0;內(nèi)有定義，limfx存在的充要條件是：對(duì)任何含于xx0

　　U0x0;且以x0為極限的數(shù)列xn，極限limfxn都存在且相等． n

　　例1 11求極限lim12． nnn

　　x1分析 利用復(fù)合函數(shù)求極限，令ux12x

　　x1解 令ux12x

　　nnnx2x1，vxx1求解． xx2x1，vxx1則有 xlimuxe；limvx1，

　　由冪指函數(shù)求極限公式得

　　vx11lim12limuxe， xxxxx

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